Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 1

6 Σχόλια

Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμο ΑΒΓΔ, με ΑΒ=2ΒΓ. Έστω Μ εσωτερικό σημείο του ΑΒΓΔ, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο ΑΜΔ να είναι:

  1. Οξυγώνιο.
  2. Αμβλυγώνιο.
  3. Ορθογώνιο.
Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 25, 2010 στις 12:36 μμ

6 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Οξυγώνιο: π/16

    Αμβλυγώνιο: (16-π)/16

    Nancy

    Φεβρουαρίου 27, 2010 at 1:30 μμ

  2. Έλα ντε που τα κοινά σημεία του ημικυκλίου με διάμετρο την ΑΔ και του εσωτερικού του ορθωγωνίου κάνουν το τριγ. ΑΜΔ ορθογώνιο!

    sartr

    Φεβρουαρίου 27, 2010 at 1:38 μμ

  3. Καταρχας καλή αρχή. Η Nancy έχει δωσει σωστές απαντήσεις για τα ερωτήματα 1) και 2)(απλώς αντιστροφα,δλδ οξυγωνιο=(16-π)/16 και αμβλυγωνιο=π/16.
    Sartr αναφέρεσαι στη περίπτωση 3) και είναι σωστή η παρατήρηση σου. Ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που δημιουργούν ορθωγώνιο τρίγωνο είναι αυτό το ημικύκλιο, αρα η πιθανότητα είναι 0.
    Μέχρι αύριο το πρωί θα ανεβάσουμε και την απόδειξη.

    diadiktyomathphys

    Φεβρουαρίου 27, 2010 at 1:56 μμ

  4. mpravo stin nancy. arketa petyximeno ofeilo na omologiso

    alex

    Μαρτίου 1, 2010 at 11:51 πμ

  5. Kαλησπερα και ελπιζω να ειμαι γουρλης στην προσπαθεια σας.
    Για να ειναι το τριγωνο ΑΜΔ ορθωγωνιο αρκει ακτιβως μια απο τις γωνιες Α,Μ,Δ να ειναι ορθη.Για να ειναι η Α αρκει να ανηκει το Μ στην ΑΒ(βασικα στον φορεα της ΑΒ) διοτι ΑΒ καθετη στην ΑΔ.Για να ειναι η Δ ορθη αρκει το Μ να ανηκει στην ΔΓ(βασικα στον φορεα της ΓΔ) διοτι ΔΓ καθετη στην ΑΔ.Επειδη εμεις ψαχνουμε εσωτερικα σημεια του ορθογωνιου εχουμε οτι αποκλειεται το τριγωνο μας να ειναι ορθογωνιο στην Α ή στην Β.Για να ειναι ορθη η Μ αρκει να κοιταει σε διαμετρο κυκλου.Ομως το τριγωνο μας ειναι το ΑΜΔ και αρα η Μ κοιταει στην ΑΔ.Αρα γραφουμε κυκλο με διαμετρο ΑΔ και το Μ πρεπει να ανηκει σε αυτον τον κυκλο.Επειδη το Μ ειναι εσωτερικο παιρνουμε το ημικυκλιο εσωτερικα του ορθογωνιου. Η πιθανοτητα ειναι ιση με τον λογο των εμβαδων του γεωμετρικου τοπου στον οποιον πρεπει να ανηκει το Μ προς το εμβαδο του ορθογωνιου.Ομως το ημικυκλιο οπως και καθε γραμμη δεν εσωκλειει χωριο και αρα εχει εμβαδον 0 κι αρα η πιθανοτητα ειναι 0.
    Δεν γινεται για την πιθανοτητα να πουμε οτι ισουται με το πληθος των σημειων του ημικυκλιου προς το πληθος των εσωτερικων σημειων του ορθογωνιου ΑΒΓΔ διοτι ειναι και τα δυο απειρα και μαλιστα ισα σε πληθικοτητα(υπεραριθμησιμως πολλα).
    Για να ειναι το τριγωνο ΑΜΔ αμβλυγωνιο αναγκαστικα ειναι στην γωνια Μ διοτι για να ηταΝ στην Α ή στην Β θα επρεπε το Μ να ειναι εκτος του ΑΒΓΔ.Για να ειναι αμβλυγωνιο στην Μ αρκει το Μ να ειναι εσωτερικο σημειο του ημικυκλιου.Αρα στην περιπτωση μας ο λογος του εμβαδου του ημικυκλιου προς το εμβαδον του ορθογωνιου λαμβανοντας υποψιν οτι ΑΒ=2ΒΓ ειναι ισος με π/16.Για να ειναι το τριγωνο οξυγωνιο αρκει το Μ να βρισκεται εντος του ΑΒΓΔ αλλα εκτος του ημικυκλιου.Με τον ιδιο τροπο βρισκουμε οτι η πιθανοτητα ειναι ιση με (16-π)/16.Ενας αλλος τροπος ειναι να πουμε οτι επειδη το τριγωνο θα ειναι ειτε ορθογωνιο ειτε αμβλυγωνιο ειτε οξυγωνιο τοτε το αθροισμα των πιθανοτητων ειναι ισο με 1.Αρα γνωριζωντας οτι η πιθανοτητα να ειναι ορθογωνιο ειναι 0 ενω του να ειναι αμβλυγωνιο ειναι π/16 προκυπτει οτι η πιθανοτητα να ειναι οξυγωνιο ειναι ιση με 1-0-π/16=(16-π)/16.
    Καλη συνεχεια

    p>e>f

    Μαρτίου 2, 2010 at 7:26 μμ

  6. p>e>f αυτή είναι η απάντηση ολοκληρωμένη. Σε ευχαριστούμε μακάρι να πανε όλα καλά, ελπιζουμε να μην είμαστε οι μόνοι παλαβοί εδω…

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 2, 2010 at 7:57 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: