Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 2

4 Σχόλια

Ποια είναι η τιμή της παράστασης  {\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{\ldots}}}}}}} } όπου το πλήθος των ριζικών άπειρο.

*ο α είναι πραγματικός μη αρνητικός.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 27, 2010 στις 2:15 μμ

4 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Η τιμή της παράστασης είναι ίση με α.

    vagos

    Φεβρουαρίου 27, 2010 at 3:58 μμ

  2. Η άσκηση αυτή δεν είναι τόσο δύσκολη όσο φαίνεται στην αρχή. Αρκεί να βρούμε την κατάλληλη ακολουθία έτσι ώστε η παράσταση να είναι το όριο της ακολουθίας.
    Αν θέσουμε σαν { \alpha_{n}=\underbrace{\sqrt{\alpha\sqrt{\alpha\sqrt{\ldots \sqrt{\alpha}}}}}_{n \rho\iota\zeta\iota\kappa\alpha} } τότε διαπιστώνουμε οτι ισχύει { \alpha_{n}=\alpha^{\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}}} και άρα η ζητούμενη παράσταση είναι το οριο της ακολουθιας που μολις ορίσαμε δλδ α, αφού {\alpha_{n}\longrightarrow \alpha}.
    Ενας άλλος τρόπος είναι να δουμε οτι ο λόγος δύο διαδοχικών όρων (για α διαφορετικό από το 0) είναι {\dfrac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}=\alpha^{\frac{1}{2^{n+1}}}} αρα {\alpha_{n}=\alpha^{1-\frac{1}{2^{n}}}}, δλδ {\alpha_{n}\longrightarrow \alpha}

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 1, 2010 at 11:28 πμ

  3. Ξκινωντας απο το τελος,(ριζα α)=α^1/2.(α^1/2)xα=α^3/2.(Ριζα α^3/2)=α^3/4.(α^3/4)xα=α^7/4.(Ριζα α^7/4)=α^7/8.Παρατηρω οτι α^7/8=α^(1/2+1/4+1/8).Αν ν το πληθος των ριζικων.Πιστευω η τιμη της παραστασης θα ειναι:α^(1/2+1/4+1/8+…+1/2ν)(1). Ειναι,επισης,:1/2+1/4+1/8+…+1/2ν=1(2).Επομενως λογω της (2) η (1) δινει οτι η τιμη της παραστασης θα ειναι α.

    stefanos

    Μαρτίου 11, 2010 at 12:52 πμ

  4. Εστω x η παρασταση. Υπολογιζουμε το x^2. Ευκολα φαινεται οτι x^2=αx. Αρα x(x-α)=0, αρα x=0 ή x=α.
    Αν x=0, τοτε α=0, γιατι αν α>0, τοτε προφανως x>0. Αρα και σε αυτη την περιπτωση x=α. Αρα, γενικα x=α.

    Φοιβος

    Σεπτεμβρίου 12, 2013 at 4:13 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: