Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 12

7 Σχόλια

Έστω μία τράπουλα με 6 φύλλα. Τα φύλλα είναι τα εξής {2 \clubsuit, 3 \clubsuit, 4 \clubsuit, 5 \clubsuit , 6 \clubsuit} και {7 \clubsuit}.

  1. Ποια είναι η πιθανότητα μετα το ανακάτεμα τα τέσσερα πρώτα φύλλα της τράπουλας να ειναι με την εξής σειρά: { 2 \clubsuit, 4 \clubsuit, 5 \clubsuit, 7 \clubsuit}.
  2. Ποια είναι η πιθανότητα μετα το ανακάτεμα τα δύο πρώτα φύλλα να έχουν άθροισμα μικρότερο του 8.
Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 4, 2010 στις 11:48 μμ

7 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. 1. Η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την εξής: Ποιά η πιθανότητα, τραβώντας τυχαία να έχω σε 4 διαδοχικά τραβήγματα με τη σειρά {2\clubsuit,4\clubsuit,5\clubsuit,7\clubsuit}
    Απάντηση: Για το τράβηγμα ενός μόνο φύλλου αρχικά έχω δειγματικό χώρο μεγέθους 6. Επομένως η πιθανότητα να τραβήξω {2\clubsuit} είναι {\frac{1}{6}}. Πλέον ο δειγματικός χώρος μειώθηκε (εφόσον μειώθηκαν τα φύλλα) σε 5. Η πιθανότητα να τραβήξω {4\clubsuit} είναι {\frac{1}{5}}. Συνεχίζοντας, στο τρίτο τράβηγμα έχω πιθανότητα {\frac{1}{4}} για να τραβήξω {5\clubsuit} και στο τέταρτο και τελευταίο τράβηγμα έχω πιθανότητα {\frac{1}{3}} να τραβήξω {7\clubsuit}. Η πιθανότητα να μου βγουν με αυτή τη σειρά λοιπόν είναι
    {\boxed{P=\frac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}=\frac{1}{360}}}

    2. Έστω ότι τραβάμε ένα ζεύγος φύλλων με τυχαίο τρόπο. Υπάρχουν {\binom{6}{2}=15} διαφορετικά ζεύγη. Από αυτά μόνο τα 4 δίνουν άθροισμα μικρότερο του 8 και συγκεκριμένα τα {(2,3),(2,4),(2,5),(3,4)} Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι
    {\boxed{P'=\frac{4}{15}}}

    Begotten

    Μαρτίου 9, 2010 at 2:44 μμ

    • Νομιζω πως τα πιθανα ζευγαρια ειναι 30(αφου στο πρωτο τραβηγμα εχω 6 πιθανα φυλλα και στο δευτερο τραβηγμα εχω 5) και αυτα που δινουν αθροισμα μικροτερο του ειναι 8 αφου ειναι τα ζευγαρια ειναι (2,3)(2,4)(2,5)(3,4) αλλα και (3,2)(4,2)(5,2) και (4,3).Αρα η πιθανοτητα ειναι P’=8/30=3/15 φυσικα παλι το ιδιο απλα λαθος αρχικη προσεγγιση.
      Ελπιζω να μην λεω κουταμαρες 🙂

      spike

      Μαρτίου 9, 2010 at 9:47 μμ

      • Πέρα από ένα λάθος στην πράξη του 8 δια του 2 που ο δαίμων του τυπογραφείου σε έκανε να το γράψεις 3, τα αποτελέσματά μας όντως ταυτίζονται. Η διαφορά στη συλλογιστική μας είναι πως εγώ παίρνοντας ως σύνολο πιθανών ζευγών τον αριθμό {\binom{6}{2}} δε λαμβάνω υπόψη μου τη διάταξη με την οποία τραβάω τα ζεύγη. Με λίγα λόγια δεν ενδιαφέρομαι για το αν θα τραβήξω για παράδειγμα (2, 3) ή (3, 2) εφόσον το αποτέλεσμα του αθροίσματος είναι ίδιο. Τα δύο ζεύγη είναι ισοδύναμα.

        Begotten

        Μαρτίου 10, 2010 at 2:55 μμ

    • Αυτη η εκφραση με τους 2 αριθμους μεσα στην παρενθεση δεν γνωριζω τι σημενει γι αυτο νομισα οτι μπερδευτικες :).Εγω ειμαιι 3η λυκειου τωρα.Το γραφει στα μαθηματικα καπου και το εχω κανει και δεν το εχω παρει πρεφα 🙂 ή ειναι μηπως εκτος υλης?

      spike

      Μαρτίου 10, 2010 at 11:03 μμ

  2. Είναι όντως ένα σύμβολο το {\binom{n}{k}} και αναφερεται στο πληθος των μεταθεσεων.
    Ενα παραδειγμα: Οταν εχεις 100 ανθρώπους και θες να δεις πόσα ζευγαρια δημιουργουνται δεν σε ενδιαφερει αν το ζευγαρι ειναι το (x,y) ή το (y,x). Παλι το ιδιο ζευγαρι θα ειναι. Οποτε σε τετοιου ειδος προβληματα εισαγεις τον ορο Μεταθεση των n αντικειμενων με k τροπους και το συμβολο {\binom{n}{k}}.
    Kαποτε ηταν στην υλη τωρα πλεόν δεν ειναι.

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 11, 2010 at 12:43 πμ

  3. Δυστυχως οι περιορισμενες γνωσεις μου επι του αντικειμενου μου επιτρεπουν να εκφρασω καοια σκεψη μονο για το 2ο σκελος της ερωτησης.Τα πιθανα πρωτα ζευγη ειναι:2-3,2-4,2-5,2-6,2-7,3-4,3-5,3-6,3-7,4-5,4-6,4-7,5-6,5-7,6-7 και τα αντιστροφα τους.(Συνολο 30).Απο αυτα μονο τα 8 δινουν αθροισμα μικροτερο του 8.Αρα η πιθανοτητα θα ειναι 8/30 δηλ. 4/15 δηλ. περιπου 26,67%.

    stefanos

    Μαρτίου 11, 2010 at 1:12 πμ

    • Σωστή είναι η σκέψη σου. Απλώς υπάρχει και άλλος τρόπος. Να θεωρήσεις τα ζευγάρια (2,3) και (3,2) ισοδύναμα και κατα κάποιο τρόπο να πεις οτι είναι τα βλέοπω σαν ένα.
      Το τονίζω ο τρόπος σου είναι ορθός. Αν θες οποιοδήποτε διευκρίνιση εδώ είμαστε.

      diadiktyomathphys

      Μαρτίου 11, 2010 at 1:36 πμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: