Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 13

2 Σχόλια

Με πόσους τρόπους μπορούμε να χαλάσουμε 100 ευρώ σε ψιλά των 1,2,5,10,20 και 50 ευρω;

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 5, 2010 στις 12:48 πμ

2 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Μου βγαίνει εξωφρενικό νούμερο, οπότε εαν κάποιος εντοπίσει πρόβλημα στη συλλογιστική μου τον παρακαλώ να το επισημάνει. Η λύση μου έχει ως εξής:
    Δεδομένο: στη διάθεσή μου έχω νομίσματα αξίας 1, 2, 5, 10, 20 και 50 ευρώ. Θα προχωρήσω ανάγοντας το τελικό πρόβλημα σε άλλα υποπροβλήματα και σε κάθε πρόβλημα θα χρησιμοποιώ τα αποτελέσματα των προηγούμενων.

    – Βήμα 1: Με πόσους τρόπους μπορώ να χαλάσω 5 ευρώ σε ψιλά των 1 και 2 ευρώ;
    Η απάντηση είναι 3 και οι τρόποι είναι οι ακόλουθοι: {(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)}
    – Βήμα 2: Με πόσους τρόπους μπορώ να χαλάσω 10 ευρώ σε ψιλά των 1, 2 & 5 ευρώ;
    Η απάντηση είναι 10 και δικαιολογείται ως εξής. Ένας τρόπος είναι να το σπάσω σε 5 και 5 ευρώ. Οι υπόλοιποι τρόποι προκύπτουν εξετάζοντας τους τρόπους με τους οποίους μπορώ να σπάσω δύο νομίσματα των 5 ευρώ και να τα συνδυάσω μεταξύ τους. Εφόσον το καθένα σπάει με τρεις τρόπους, συνολικά έχω {3\times{}3=9} τρόπους. Τελικά {N_{10}={N_5}^2+1=10}. Το βήμα αυτό είναι κλειδί για τη συνέχεια μιας και θα χρησιμοποιηθεί η ίδια συλλογιστική στα ακόλουθα.
    – Βήμα 3: Με πόσους τρόπους μπορώ να χαλάσω 20 ευρώ σε ψιλά των 1, 2, 5 & 10 ευρώ;
    Ένας τρόπος είναι 10 ευρώ και 10 ευρώ. Από εκεί και πέρα κοιτάμε, όπως και πριν, πως συνδυάζω τα δύο νομίσματα των 10 σπάζοντάς τα σε μικρότερης αξίας. Προκύπτει {N_{20}={N_{10}}^2+1=101}.
    – Βήμα 4: Με πόσους τρόπους μπορώ να χαλάσω 50 ευρώ σε ψιλά των 1, 2, 5, 10 & 20 ευρώ;
    Ένας τρόπος είναι {(20,20,10)}. Πρέπει να εξετάσουμε με πόσους τρόπους σπάει περαιτέρω. Προκύπτει: {N_{50}=N_{10}\times{}{N_{20}}^2+1=102011}
    – Βήμα 5(τελικό πρόβλημα): Με πόσους τρόπους μπορώ να χαλάσω 100 ευρώ σε ψιλά των 1, 2, 5, 10, 20 & 50 ευρώ;
    Ένας τρόπος είναι {(50,50)}. Εξετάσω με πόσους τρόπους το κάθε νόμισμα των 50 ευρώ σπάει περαιτέρω και τα συνδυάζω. Είναι τελικά
    {\boxed{N_{(100)}={N_{50}}^2+1=10,406,244,122}}
    Μιλάμε δηλαδή για ένα αποτέλεσμα ~10 δισεκατομμύρια. Χμμμμ…

    Begotten

    Μαρτίου 9, 2010 at 1:51 μμ

    • ωραία λύση αλλά δε βοηθάει για την συγκεκριμένη άσκηση

      είναι όντως κάποιες παραπάνω λύσεις γιατί διπλομετράς αρκετές
      ισως σε βοηθήσει το παρακάτω αντιπαράδειγμα

      έστω Α,Β,Γ τα τρία πεντάευρα που θεώρησες στην αρχή
      Α=(2,2,1) Β=(2,1,1,1) Γ=(1,1,1,1,1)
      ένα 20 ευρω μπορείς να το φτιαξεις με Α+Β+2Γ και θα έχεις 3 δίευρα και τα υπόλοιπα μονά
      ακριβώς ίδια είναι και η λύση 3Β+Γ

      καλή συνέχεια

      Brother Mouzone

      Μαρτίου 17, 2010 at 10:23 πμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: