Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Διαγώνισμα ΑΣΕΠ 1

14 Σχόλια

Ένα προτεινόμενο διαγώνισμα με βάση την ύλη του ΑΣΕΠ ΠΕ03. Πατήστε εδώ ———> ΔιαγωνισμαΑΣΕΠ#1

Σχόλια, παρατηρήσεις αλλά και διορθώσεις είτε στα σχόλια είτε στο email.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 8, 2010 στις 2:48 μμ

14 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Για το Θέμα Α3 μπορείτε να αποφύγετε τις πράξεις αν θεωρήσετε τον {\mathbb{R}^{2}} σαν διανυσματικό χώρο.
    Το θεώρημα του Darboux είναι δύσκολο να λυθέι από έναν μαθητή Λυκείου, αλλά συνήθως βρίσκεται στην ύλη ενός μαθήματος Διαφορικού Λογισμού.

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 8, 2010 at 10:37 μμ

  2. Οι περισσότερες ασκήσεις του διαγωνίσματος απαιτούν γνώσεις και εμπειρία απειστικού λογισμού, δεν είναι δυνατόν να περιμένει κανείς ότι θα τις λύσει με βάση μόνο το σχολικό βιβλίο.

    Για παράδειγμα, παραθέτω μια λύση για την παρακάτω άσκηση:

    » Εάν f: [a,b] —> R συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα. Τότε, f μονότονη.»

    Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση:

    »Επειδή η f δεν έχει τοπικά ακρότατα, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα [c,d] θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο στα άκρα c, d. ]»

    Ι. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(a) < = f(b). Θα δείξουμε ότι η f είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω x, y με

    a < x < y f(y). Επιλέγω τυχαίο t στο διάστημα [x, y], δηλ. α < x <=t <= y <b.

    Τότε, με βάση την παρατήρηση πού κάναμε στην αρχή, θα έχουμε

    f(a) < = f(t) < = f(b) (1)

    f(y) <= f(t) <= f(x) (2)

    Πάλι λόγω της παρατήρησης και της (1), παίρνουμε

    f(a) < = f(s) < = f(t), για κάθε s στο διάστημα [a,t], άρα και

    f(x) f(b), εφαρμόζουμε το Ι για την -f και βγάζουμε ότι f φθίνουσα.

    ΘΑ ΗΜΟΥΝ ΕΥΤΥΧΗΣ ΑΝ ΚΑΠΟΙΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΕΙ ΜΙΑ ΠΙΟ ΣΥΝΤΟΜΗ Ή ΕΥΚΟΛΗ ΛΥΣΗ.

    george

    Μαρτίου 13, 2012 at 1:14 μμ

  3. Δεν ξέρω τι συμβαίνει αλλά η λύση πάλι δεν εμφανίζεται σωστά.

    To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση:

    ”Επειδή η f δεν έχει τοπικά ακρότατα, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα [c,d] θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο στα άκρα c, d. ]”

    Ι. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(a) < = f(b). Θα δείξουμε ότι η f είναι αύξουσα.

    Πράγματι, έστω x, y με

    a < x f(y).

    Επιλέγω τυχαίο t στο διάστημα [x, y], δηλ. α < x <=t <= y <b.

    Τότε, με βάση την παρατήρηση πού κάναμε στην αρχή, θα έχουμε

    f(a) < = f(t) < = f(b) (1)

    f(y) <= f(t) <= f(x) (2)

    Πάλι λόγω της παρατήρησης και της (1), παίρνουμε

    f(a) < = f(s) < = f(t), για κάθε s στο διάστημα [a,t], άρα και

    f(x) f(b), εφαρμόζουμε το Ι για την -f και βγάζουμε ότι f φθίνουσα.

    george

    Μαρτίου 13, 2012 at 1:20 μμ

  4. ΠΑΛΙ ΔΕΝ ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ ΣΩΣΤΑ…

    ΑΣ ΚΑΝΩ ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ-ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΚΕΙΜΕΝΟ

    »Πράγματι, έστω x, y στο [a, b] με a < x < y f(y). Eπιλέγω …» Συνεχίζει κανονικά μέχρι και τη φράση »άρα και»

    οπότε γράφουμε

    f(x) f(b) εφαρμόζουμε το Ι για την -f και βγάζουμε ότι f φθίνουσα.

    george

    Μαρτίου 13, 2012 at 1:32 μμ

  5. ΤΗ ΓΡΑΦΩ ΣΕ LATEX ΔΕ ΓΙΝΕΤΑΙ ΑΛΛΙΩΣ…

    Παραθέτω μια λύση για την παρακάτω άσκηση:

    ” Εάν $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα. Τότε, $f$ μονότονη.”

    Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση:

    ”Επειδή η $f $ δεν έχει τοπικά ακρότατα, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα $[c,d]$ θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο ΜΟΝΟ στα άκρα $c, d$. ”

    Ι. Ας υποθέσουμε τώρα ότι $f(a) \leq f(b)$. Θα δείξουμε ότι η $f $ είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω $x, y$ με

    $a < x < y f(y)$.

    Επιλέγω τυχαίο $t \in [x, y]$ , δηλ. $ a < x \leq t \leq y f(b)$, εφαρμόζουμε το (1) για τη συνάρτηση $-f$ και βγάζουμε ότι η $f$ είναι φθίνουσα.

    george

    Μαρτίου 13, 2012 at 1:46 μμ

  6. Λυπάμαι, πάλι τα ίδια…

    Ας μου κάποιος ΕΠΙΤΕΛΟΥΣ πώς γράφεις μαθηματικά εδώ μέσα!

    george

    Μαρτίου 13, 2012 at 1:47 μμ

    • Aν θες να γραψεις latex αντι να γραψεις $\dfrac{1}{2}$ για το κλασμα γραθεις και τη λεξη latex μετα το πρωτο $ , και μετα κανονικα τον κωδικαπου θες.

      John

      Μαρτίου 14, 2012 at 1:33 πμ

      • και οχι με ελληνικους χαρακτηρες δεν τους αναγνωριζει και σου βγαζει σφαλμα.

        John

        Μαρτίου 14, 2012 at 1:34 πμ

  7. Ευχαριστώ

    Δοκιμή

    $ latex \frac{1}{2}$

    george

    Μαρτίου 14, 2012 at 1:26 μμ

  8. ΑΣΚΗΣΗ Α4. Γ (ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΕΠ)

    Εάν $ latex f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} $ συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα στο διάστημα (a,b). Τότε, f μονότονη.”

    Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση:

    ”Επειδή η f δεν έχει τοπικά ακρότατα, σε κάθε κλειστό υποδιάστημα [c,d] θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο ΜΟΝΟ στα άκρα του διαστήματος [c,d]. ”

    I. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(a) \leq f(b). Θα δείξουμε ότι η f είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω x, y με a < x  f(y).

    Επιλέγω τυχαίο t \in [x, y] , δηλ. a < x \leq t \leq y <b.

    Λόγω της παρατήρησης και με βάση τα παραπάνω παίρνουμε

    f(a) \leq f(t) \leq f(b) (1)

    f(y) \leq f(t)  \leq f(x) (2)

    Πάλι από την παρατήρηση κι επειδή a  f(b) εφαρμόζουμε το I για την -f και παίρνουμε ότι f φθίνουσα.

    george

    Μαρτίου 14, 2012 at 1:56 μμ

    • ΑΣΚΗΣΗ Α4. Γ (ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΕΠ)

      Εάν f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής χωρίς τοπικά ακρότατα στο διάστημα (a,b). Τότε, f μονότονη.”

      Απόδειξη: To κλειδί της απόδειξης είναι η παρακάτω παρατήρηση:

      ”Επειδή η f δεν έχει τοπικά ακρότατα στο διάστημα (a,b), σε κάθε κλειστό υποδιάστημα [c,d] του [a,b] θα λαμβάνει μέγιστο κι ελάχιστο ΜΟΝΟ στα άκρα του διαστήματος [c,d]. ”

      I. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f(a) \leq f(b). Θα δείξουμε ότι η f είναι αύξουσα. Πράγματι, έστω x, y με a  \leq x \leq  y \leq b. Υποθέτουμε αντιθέτως ότι f(x) > f(y).

      Επιλέγω τυχαίο t \in [x, y] , δηλ. a \leq x \leq t \leq y \leq b.

      Λόγω της παρατήρησης και με βάση τα παραπάνω παίρνουμε

      f(a) \leq f(t) \leq f(b) (1)

      f(y) \leq f(t)  \leq f(x) (2)

      Πάλι από την παρατήρηση και από την (1) παίρνουμε

      f(a) \leq f(x)  \leq f(t) (3)

      Τώρα, οι (2), (3) δίνουν f(t)=f(x) κι αυτό ισχύει για κάθε t\in [x, y], δηλ. f σταθερή στο διάστημα [x, y] (ΑΤΟΠΟ).

      Άρα, f αύξουσα.

      II. Στην περίπτωση f(a) > f(b) εφαρμόζουμε το I για την -f και παίρνουμε ότι f φθίνουσα.

      george

      Μαρτίου 14, 2012 at 2:03 μμ

      • Επιτέλους, εμφανίζεται σωστά!

        george

        Μαρτίου 14, 2012 at 2:06 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: