Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 15

with one comment

Έστω {n \in \mathbb{N}} με {n >0} και το σύνολο {C_{2n} = \{1,\ldots,2n\}}. Αποδείξτε ότι για κάθε ακολουθία {n+1} όρων από το σύνολο { C_{2n} }  υπάρχουν δύο όροι της ακολουθίας τέτοιοι ώστε ο ένας διαιρεί τέλεια τον άλλο.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 10, 2010 στις 2:42 πμ

Αναρτήθηκε στις Συνδυαστικές Ασκήσεις

Ένα Σχόλιο

Subscribe to comments with RSS.

  1. Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας υποθέσουμε ότι [pmath size=12] 1\leq a_1 < a_2 <\ldots < a_{n+1} \leq 2n[/pmath] οι αριθμοί. Τότε γράφουμε κάθε αριθμό [pmath size=12]a_i[/pmath] στη μορφή [pmath size=12]a_i=2^{n_i}m_i[/pmath], όπου οι [pmath size=12]n_i[/pmath] είναι μη αρνητικοί και οι [pmath size=12]m_i[/pmath] είναι περιττοί. Όμώς κάθε ένας από τους [pmath size=12]m_i[/pmath] είναι κάποιος από τους [pmath size=12]n[/pmath] αριθμούς [pmath size=12]1,3,5,…,2n-1[/pmath] Συνεπώς ανάμεσα στους [pmath size=12]n+1[/pmath] αριθμούς [pmath size=12]a_1,a_2,\ldots, a_{n+1}[/pmath] υπάρχουν τουλάχιστον δύο (αρχή της περιστεροφωλιάς), έστω οι [pmath size=12]a_i[/pmath] και [pmath size=12]a_j[/pmath], με [pmath size=12]i<j[/pmath] που είναι τέτοιοι ώστε [pmath size=12]m_i=m_j[/pmath]. Συνεπώς λόγω της διάταξης που υποθέσαμε στην αρχή ότι δηλαδή [pmath size=12]a_i < a_j[/pmath] ισχύει [pmath size=12]n_i<n_j[/pmath]. δηλαδή o [pmath size=12]a_i[/pmath] διαιρεί τον [pmath size=12]a_j[/pmath].


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: