Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 16

5 Σχόλια

Έστω ότι βάφουμε καθε σημείο του {\mathbb{R}^{2}} με κόκκινο ή μπλέ χρώμα. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο κόκκινο και ένα τουλάχιστον σημείο μπλέ. Είναι δυνατόν κάθε κύκλος με ακτίνα 1 cm να περιέχει ακριβώς:

  1. ένα μπλέ σημείο;
  2. δύο μπλέ σημεία;

Πρόβλημα από την ένατη Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2006

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 13, 2010 στις 6:54 μμ

5 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Σκεφτηκα για το δευτερο οτι αν το επιπεδο απαρτιζεται απο μπλε παραλληλες ευθειες που απεχουν μεταξυ τους 2cm(η καθετες) τοτε (ετσι οπως το φανταζομαι δλδ) οποιονδηποτε κυκλο και αν κατασκευασω με ακτινα 1cm θα εχει 2 μπλε σημεια.Φυσικα αυτο δεν αποτελει αποδειξη αν και δεν νομιζω να εχω οθτε τισ γνωσεις ισως για να φτιαξω μια.

    spike

    Μαρτίου 15, 2010 at 6:19 μμ

  2. Aυτή είναι μια σωστή απάντηση στο δεύτερο ερώτημα. Διαλέγω τυχαία μια ευθεία του επιπέδου και βαφω μπλε τα σημεια της ευθειας αυτης αλλα και καθε παράλληλης της που απεχει {2m}cm με {m \in \mathbb{N}}. H απόδειξη ότι κάθε κύκλος έχει ακριβώς 2 μπλέ σημεία δεν είναι καθόλου δύσκοκλη. Απαιτεί γεωμετρία πρώτης Λυκείου.

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 15, 2010 at 8:14 μμ

  3. Η απάντηση στο νουμερο είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει τέτοιος χρωματισμός. Γιατί όμως;
    Η λύση του είναι καθαρά γεωμετρική.

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 16, 2010 at 3:28 πμ

  4. Πράγματι δεν είναι δυνατή τέτοια κατασκευή για το πρώτο ερώτημα! Ας υποθέσουμε το αντίθετο και ας πάρουμε ένα μπλε σημείο Κ. Τότε από την υπόθεση, στον κύκλο με κέντρο το Κ και ακτίνα 1cm υπάρχει μόνο ένα μπλε σημείο ας υποθέσουμε το Κ_1. Διαλέγουμε τώρα ένα σημείο Κ_2 να είναι τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΚΚ_1Κ_2 να είναι ισόπλευρο. Τότε όμως στον κύκλο με κέντρο το Κ_2 και ακτίνα Κ_1 υπάρχουν τουλάχιστον δύο μπλέ σημεία (το Ο και το Ο_1), άτοπο.

  5. (Διόρθωση του κειμένου καθώς στο τέλος κατά λάθος πάτησα το Ο αντί το Κ – είναι ακριβώς από πάνω στο πληκτρολόγιο):

    Πράγματι δεν είναι δυνατή τέτοια κατασκευή για το πρώτο ερώτημα! Ας υποθέσουμε το αντίθετο και ας πάρουμε ένα μπλε σημείο Κ. Τότε από την υπόθεση, στον κύκλο με κέντρο το Κ και ακτίνα 1cm υπάρχει μόνο ένα μπλε σημείο ας υποθέσουμε το Κ_1. Διαλέγουμε τώρα ένα σημείο Κ_2 να είναι τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΚΚ_1Κ_2 να είναι ισόπλευρο. Τότε όμως στον κύκλο με κέντρο το Κ_2 και ακτίνα Κ_1 υπάρχουν τουλάχιστον δύο μπλέ σημεία (το Κ και το Κ_1), άτοπο.


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: