Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 20

11 Σχόλια

Αποδείξτε ότι αν μια συνάρτηση {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} είναι συνεχής και φθίνουσα έχει μοναδικό σταθερό σημείο, δλδ υπάρχει ακριβώς ένα {x_{0}} τέτοιο ώστε {f(x_{0})=x_{0}}.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 22, 2010 στις 1:41 μμ

11 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Εστω η συναρτηση h(x)=f(x)-x
    Για α,β Ε R ωστε α>β εχουμε:
    f(α)<=f(β) (αφου f φθινουσα) και
    -α<-β
    Προσθετοντας κατα μελη:
    f(α)-α<f(β)-β ή
    h(α)+oo

    (Τα ορια ειναι ολα στο +οο)

    Αρα υπαρχει κ ωστε h(x)-oo
    (Τα ορια ειναι ολα στο -οο)
    Αρα υπαρχει λ ωστε h(x)>0

    Με θεωρημα Bolzano στο [λ,κ] εχουμε μια τουλαχιστον ριζα και πιο πανω αποδειχτηκε η μοναδικοτητα της.

    Nick

    Μαρτίου 23, 2010 at 4:38 μμ

  2. Καποιο προβλημα υπαρχει και δεν εμφανιστηκε ολοκληρο το σχολιο μου

    Εστω η συναρτηση h(x)=f(x)-x
    Για α,β Ε R ωστε α>β εχουμε:
    f(α)<=f(β) (αφου f φθινουσα) και
    -α<-β
    Προσθετοντας κατα μελη:
    f(α)-α<f(β)-β ή
    h(α)<h(β).
    Αρα h γνησιως φθινουσα. Επομενως εχει το πολυ μια ριζα.

    Nick

    Μαρτίου 23, 2010 at 5:44 μμ

  3. Η f ειναι φθινουσα. Το οριο της στο +οο ειναι πραγματικος αριθμος ή -οο (αν ειναι +οο αντιβαινει στο ορισμο της φθινουσας). Ομοια το οριο στο -οο ειναι πραγματικος αριθμος ή +οο.

    lim h(x)=lim f(x) – limx =-oo Επειδη limx=+oo kai limf(x)=πραγματικος αριθμος ή -οο
    (τα ορια ειναι στο +οο)
    Αρα υπαρχει λ ωστε h(λ)0

    Εφαρμοζοντας θεωρημα Bolzano στο [κ,λ] (h(κ)*h(λ)<0) εχουμε μια τουλαχιστον ριζα και πιο πριν αποδειχτηκε η μοναδικοτητα της.

    Nick

    Μαρτίου 23, 2010 at 5:50 μμ

  4. Συγγνωμη για τα πολλα σχολια αλλα δεν εμφανιζονται ολοκληρα τα σχολια μου, υπαρχει καποιο προβλημα ή κανω κατι λαθος;

    Nick

    Μαρτίου 23, 2010 at 5:56 μμ

    • Είχαμε και μεγαλύτερα σχόλια χωρίς πρόβλημα (δες εδω π.χ. https://diadiktyomathphys.wordpress.com/2010/03/02/%CE%AC%CF%83%CE%BA%CE%B7%CF%83%CE%B7-8/#comments) δυστυχώς δεν γνωρίζω να σου απαντήσω. Τα σχόλια σου πάντως έτσι φαίνονται και στον πίνακα ελέγχου.

      diadiktyomathphys

      Μαρτίου 23, 2010 at 6:00 μμ

    • Υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος.

      Ας υποθέσουμε ότι η f δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, λόγω συνέχειας και θεωρήματος Bolzano, η συνάρτηση
      F(x)-x διατηρεί πρόσημο, δηλ. έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

      I. f(x) > x για κάθε x στο R (1)

      II. f(x) f(x)

      ενώ πάλι από την (1) και επειδή f φθίνουσα παίρνουμε και

      f(f(x)) < = f(x)

      (ATOΠΟ).

      Ανάλογα καταλήγουμε σε άτοπο και στην περίπτωση ΙI.

      george

      Μαρτίου 9, 2012 at 4:48 μμ

      • Δεν εμφανίστηκε σωστά, το γράφω ξανά:

        Ας υποθέσουμε ότι η f δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, λόγω συνέχειας και θεωρήματος Bolzano, η συνάρτηση
        F(x)-x διατηρεί πρόσημο, δηλ. έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

        I. f(x) > x για κάθε x στο R (1)

        II. f(x) f(x)

        ενώ πάλι από την (1) και επειδή f φθίνουσα παίρνουμε και

        f(f(x)) < = f(x)

        (ATOΠΟ).

        Ανάλογα καταλήγουμε σε άτοπο και στην περίπτωση ΙI.

        george

        Μαρτίου 9, 2012 at 4:50 μμ

  5. Δεν εμφανίζεται σωστά, ελπίζω να καταλάβατε τι θέλω να πω…

    Ας υποθέσουμε ότι η f δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, λόγω συνέχειας και θεωρήματος Bolzano, η συνάρτηση
    F(x)-x διατηρεί πρόσημο, δηλ. έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    I. f(x) > x για κάθε x στο R (1)

    II. f(x) f(x)

    ενώ πάλι από την (1) και επειδή f φθίνουσα παίρνουμε και

    f(f(x)) < = f(x)

    (ATOΠΟ).

    Ανάλογα καταλήγουμε σε άτοπο και στην περίπτωση ΙI.

    george

    Μαρτίου 9, 2012 at 4:52 μμ

  6. I. f(x) > x για κάθε x στο R (1)

    Στην περίπτωση Ι εφαρμόζουμε την (1) για f(x) στη θέση του x και παίρνουμε

    f(f(x)) > f(x)

    ενώ πάλι από την (1) και επειδή f φθίνουσα παίρνουμε και

    f(f(x)) < = f(x)

    (ATOΠΟ).

    george

    Μαρτίου 9, 2012 at 4:53 μμ

  7. Ξαναγράφω τη λύση ώστε να εμφανίζεται σωστά.

    Η μοναδικότητα έπεται από το γεγονός ότι η συνάρτηση f(x) -x είναι γνησίως φθίνουσα.

    Για την ύπαρξη, υποθέτουμε αντιθέτως ότι η $f$ δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, λόγω συνέχειας και από θ. Bolzano, θα έχουμε

    είτε

    f(x) > x, για κάθε x\in \mathbb{R} (1)

    είτε

    f(x)  f(x), για κάθε x\in \mathbb{R},

    ενώ πάλι από την (1) κι επειδή $f$ φθίνουσα, παίρνουμε

    f(f(x)) \leq  f(x), για κάθε x\in \mathbb{R}

    (ATOΠΟ).

    Στη δεύτερη περίπτωση εργαζόμαστα ανάλογα με τη (2) και καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.

    george

    Μαρτίου 14, 2012 at 2:22 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: