Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Άσκηση 24

6 Σχόλια

Έστω \epsilon > 0, υπάρχει ανοικτό και πυκνό υποσύνολο του \mathbb{R} τέτοιο ώστε το συνολικό «μήκος» του να ειναι μικρότερο το \epsilon;

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 30, 2010 στις 2:40 μμ

6 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Yπόδειξη: το \mathbb{Q} είναι πυκνό στο \mathbb{R} αλλά όχι ανοιχτό. Παρόλα αυτά μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε.

    diadiktyomathphys

    Μαρτίου 31, 2010 at 1:25 μμ

    • NAI, ΥΠΑΡΧΕΙ

      ΑΠΟ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ [0, 1] ΕΞΑΙΡΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΕΝΑ ΜΕΤΡΗΣΙΜΟ ΣΥΝΟΛΟ

      Α

      ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΠΟΥΘΕΝΑ ΠΥΚΝΟ ΚΙ ΕΧΕΙ ΜΕΤΡΟ 1.

      ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΛΟΓΩ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ LEBESQUE, ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΣΥΝΟΛΟ Κ ΤΕΤΟΙΟ ΩΣΤΕ

      — ΤΟ Κ ΕΙΝΑΙ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ Α

      —ΜΕΤΡΟ ΤΟΥ Κ > 1- ε

      ΤΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΟΥ Κ ΜΕΣΑ ΣΤΟ [0, 1] ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

      george

      Μαρτίου 5, 2012 at 10:02 μμ

  2. ΣΥΓΓΝΩΜΗ, ΜΙΑ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

    ΕΣΤΩ ΤΥΧΑΙΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ J ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΜΕΤΡΟΥ = |J|

    ΕΞΑΙΡΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΟ J ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΣΥΝΟΛΟ Α

    ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ Κ

    ΜΕ

    K \SB A, |Κ| > |J| -ε

    ΟΠΟΤΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ V=J – Κ ΕΙΝΑΙ ΑΝΟΙΚΤΟ ΣΤO R, ΠΥΚΝΟ ΜΕΣΑ ΣΤΟ J

    ΚΑΙ

    |J| < ε

    ΕΚΤΕΛΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΙΑ ''J''=(-n, n), ''ε''= ε / 2^n , n=2,3,…….

    OΠOTE ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ V_n n=2,3,…..ΩΣΤΕ

    V_n ΠΥΚΝΟ ΜΕΣΑ ΣΤΟ (-n, n)

    |V_n| < ε / 2^n

    Η ΕΝΩΣΗ ΤΩΝ V_n EINAI EINAI TO ZHTOYMENO

    george

    Μαρτίου 5, 2012 at 10:35 μμ

    • H πιο απλή απάντηση που γνωρίζω είναι η παρακάτω: αν \{q_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} μια αρίθμηση των ρητών τότε τα ανοικτά V_{n}=B\left(q_{n},\frac{\epsilon}{2^{n+2}}\right) είναι η ζητούμενη ακολουθία.
      Μια παρατήρηση για την απόδειξη σου. Αν κατάλαβα σωστά η τομή του συνόλου Α με τους ρητούς είναι το κενό σύνολο σωστά; Αν όντως έτσι είναι το Α δεν μπορεί να περιέχει κανένα συμπαγές, γιατί συμπαγές στους πραγματικους σημαίνει κλειστό και φραγμένο. Το Κ φραγμένο μπορεί να είναι κλειστό όμως όχι.

      John

      Μαρτίου 10, 2012 at 10:10 μμ

      • Πράγματι, πιό απλό!

        Ναι, το Α δεν περιέχει καθόλου ρητούς και |A|=|J|. Από την κανονικότητα του μέτρου Lebesgue υπάρχει ΠΑΝΤΑ συμπαγές Κ ώστε

        Κ υποσύνολο του Α

        και

        |K| > |Α| -ε =|J| -ε

        [ Δεν υπάρχει κάποια αντίφαση στο πρώτο. Το Κ μπορεί να είναι συμπαγές και να μην περιέχει ρητούς, π.χ. πάρε έναν άρρητο a και θεώρησε το σύνολο

        K =\{ a +1/n :n=1,2,3,.......\}  \cup \{ a \} .

        Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.]

        Τώρα, το V =J \K είναι ανοικτό στον R και πυκνό μέσα στο J (διότι το K δεν περιέχει καθόλου ανοικτά υποσύνολα του J, μιας και δεν ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΡΗΤΟΥΣ).

        κλπ

        Είναι κλασική τεχνική από τη θεωρία μέτρου…

        Υ.Γ. Πώς γράφουμε σε latex εδώ μέσα; Απλά γραφουμε εντολές;

        george

        Μαρτίου 13, 2012 at 12:49 πμ

  3. Nαι προφανως μια ακολυθια με το οριο της ειναι συμπαγες. για καποιο ανεξηγητο λογο διαβασα (ενω δεν το εχεις γραψει ) οτι το Κ ειναι διαστημα ……

    John

    Μαρτίου 14, 2012 at 1:42 πμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: