Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Παράγωγος ακολουθίας.

leave a comment »

Έστω ακολουθία ακέραιων αριθμών  {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ορίζουμε σαν παράγωγο πρώτης τάξης της ακολουθίας {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} την ακολουθία  {\{\mathbb{D}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ως εξής : {\mathbb{D}f_{n}=f_{n+1}-f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}. Αναδρομικά  μπορούμε να ορίσουμε και τις παραγώγους ανωτέρας τάξης, {m+1} τάξης με {m \in \mathbb{N}} , {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=\mathbb{D}^{m}f_{n+1}-\mathbb{D}^{m}f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}.

Αποδείξτε ότι αν ο τύπος της ακολουθίας δίνεται από ένα πολυώνυμο {m} βαθμού, δλδ {f_{n}=a_{m}n^{m}+a_{m-1}n^{m-1}+ \ldots +a_{1}n+a_{0}}, με ακέραιους συντελεστές, τότε ισχύει ότι η {\{\mathbb{D}^{m+1}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι η μηδενική ακολουθία, δλδ {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=0} για κάθε {n \in \mathbb{N}}.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 4, 2010 στις 9:18 μμ

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: