Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Σταθερή ή οχι;

with one comment

Εστω συνεχης συναρτηση {f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} τετοια ωστε για καθε {x \in \mathbb{R}} ισχυει οτι {f(x^{2})=f(x)}. Αποδειξτε οτι η συναρτηση {f} ειναι σταθερη.

Αποδείξτε ότι είναι άρτια και μελετήστε το όριο στο {0}

Advertisements

Ένα Σχόλιο

Subscribe to comments with RSS.

  1. Λόγω της υπόθεσης και με επαγωγή παίρνουμε ότι για κάθε x>0 και για κάθε φυσικό n, ισχύει

    f(x) =f(a_n)

    όπου

    a_n = x υψωμένο στη δύναμη 1/2^n.

    Προφανώς a_n —> 1, οπότε λογω συνέχειας, f(a_n) —> f(1) και άρα f(x)=f(1) για κάθε x>0.

    Επειδή f είναι άρτια, έπεται ότι f(x)=f(1) για κάθε x διάφορο του 0. Πάλι λόγω συνέχειας, θα ισχύει και f(0)=1.

    george

    Μαρτίου 10, 2012 at 9:07 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: