Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Ρητοί και άρρητοι μια σχέση … (α)συνέχειας

5 Σχόλια

Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση {f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}} η οποία να είναι συνεχής;

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 21, 2011 στις 7:59 μμ

5 Σχόλια

Subscribe to comments with RSS.

  1. Όχι δεν μπορώ γιατί δεν τα θυμάμαι. Αυτά που θυμάμαι είναι παράγωγοι, ολοκληρόματα και κατι λίγα από όρια και τον Del’hospital…… 😛

    george terzidis

    Ιανουαρίου 21, 2011 at 8:18 μμ

  2. Ναι, υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

    Θεωρούμε μια αρίθμηση των ρητών

    r_n n=1,2,3, . . . . . .

    Για κάθε πραγματικό αριθμό x θεωρούμε το σύνολο N(x) που αποτελείται από όλους τους φυσικούς αριθμούς n με την ιδιότητα

    r_n < x.

    Για κάθε x ορίζουμε

    f(x) = άθροισμα των 1/2^n για όλα τα n στο N(x).

    Η συνάρτηση f έχει ρητές τιμές και είναι συνεχής σε κάθε άρρητο. (Δείτε το!)

    george

    Μαρτίου 7, 2012 at 7:45 μμ

    • Πολύ ενδιαφέρουσα απάντηση. Μια που είχα σκεφτεί εγώ είναι η παρακάτω:
      έστω μια αριθμηση q_{n}\in\mathbb{Q} των ρητων τοτε οριζω να αντιστοιχισω καθε στοιχειο του συνολου
      \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cap \left([-n-1,-n]\cup [n,n+1]\right) στο \rightarrow q_{n} εύκολα από την αρχή μεταφοράς φαίνεται ότι αυτή η συναρτηση είναι παντού συνεχής.

      John

      Μαρτίου 14, 2012 at 2:20 πμ

    • Ως προς την απαντηση σου οντως ειναι συνεχης σε καθε αρρητο και ασυνεχης σε καθε ρητο. Που ωραια συναρτηση δεν την γνωριζα.

      John

      Μαρτίου 14, 2012 at 2:38 πμ

      • Πολύ ενδιαφέρον και το δικό σου παράδειγμα.

        george

        Μαρτίου 14, 2012 at 1:21 μμ


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: