Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Άλγεβρας’ Category

Λέξεις, ομάδες και πιθανότητες.

leave a comment »

Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα και L ένα σύνολο γεννητόρων της ομάδας για το οποίο ισχύει
x\in L\Rightarrow x^{-1}\in L. Αν διαλέξουμε (με επανατοποθέτηση) m στοιχεία του L ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξαμε το στοιχείο g\in G ;
Αλλάζει κάτι στο πρόβλημα μας αν η ομάδα μας είναι αβελιανή;

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουνίου 15, 2012 at 11:26 πμ

Ένα παιχνίδι πινάκων.

leave a comment »

Αν υποθέσουμε ότι μας δίνουμε το πίνακα \begin{array}{|c|c|c|}    \hline    1&2&3\\    \hline    4&5&6\\    \hline    7&8&\bullet \\    \hline    \end{array} με το κάτω δεξιά τετράγωνο κενό. Αν επιτρέπεται να κάνουμε (στοιχειώδεις) κινήσεις, π.χ. \begin{array}{|c|c|c|}    \hline    1&2&3 \\    \hline    4&5&6\\    \hline    7&\bullet&8\\    \hline    \end{array} ή  \begin{array}{|c|c|c|}    \hline    1&2&3 \\    \hline    4&\bullet&6\\    \hline    7&5&8\\    \hline    \end{array}

To ερώτημα είναι αν μπορούμε από την αρχική μας θέση και μέσω πεπερασμένων κινήσεων να φτάσουμε στη παρακάτω μορφή

\begin{array}{|c|c|c|}    \hline    1&2&3 \\    \hline    4&5&6\\    \hline    8&7&\bullet\\    \hline    \end{array}

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 29, 2011 at 10:27 μμ

Ένα κανονικό πεντάγωνο και χρώματα.

leave a comment »

Με πόσους τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο άν έχουμε n \in \mathbb{N}^{*} χρώματα.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 1, 2011 at 1:17 μμ

Περίεργα σύνολα του επιπέδου.

leave a comment »

Μπορειτε να κατασκευασετε ενα συνολο {A\subset \mathbb{R}^{2}} τετοιο ωστε να ισχυει {A=B\cup C}, με {B\cap C = \emptyset}, το B να ειναι πεπερασμενο και το C μια στροφη του A, ;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Νοέμβριος 28, 2010 at 3:21 μμ

Πυκνές Ομάδες.

leave a comment »

Μπορείτε να αποδείξετε ότι κάθε προσθετική υποομάδα της {<\mathbb{R},+>} είναι είτε της μορφής {a\mathbb{Z}} για κάποιο {a \in \mathbb{R}} είτε πυκνή στο {\mathbb{R}};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 24, 2010 at 7:30 μμ

Υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο;

leave a comment »

Υπαρχει πολυώνυμο {P(x)} με ακέραιους συντελεστές τέτοιο ώστε να υπάρχουν τρεις διαφορετικοί ακέραιοι {a,b,c} έτσι ώστε :

{P(a)=b,P(b)=c} και {P(c)=a} ;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 9, 2010 at 4:41 μμ

Γραμμικές συναρτήσεις στο επίπεδο.

leave a comment »

Αν {F} είναι ένα συνόλο που περιέχει συναρτήσεις {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} με {f(x)=ax+b}, με {a \neq 0} το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω:

  1. Αν {f \in F} τότε και η {f^{-1} \in F}.
  2. {f} και {g \in F} τότε {f\circ g \in F}.
  3. Στο {F} δεν ανήκει συνάρτηση με τύπο {f=x+c} με {c \neq 0}.

Αποδείξτε ότι υπάρχει {x_{0} \in \mathbb{R}} τέτοιο ώστε για κάθε {f \in F} ισχύει {f(x_{0})=x_{0}}.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 14, 2010 at 1:13 πμ