Archive for the ‘Ασκήσεις Ακολουθιών’ Category
Άθροισμα αποστάσεων.
Έστω το σύνολο , και μια διαμέριση αυτού του συνόλου σε δύο ακολουθίες
τέτοιες ώστε
και
. Mπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα
;
Παράγωγος ακολουθίας.
Έστω ακολουθία ακέραιων αριθμών ορίζουμε σαν παράγωγο πρώτης τάξης της ακολουθίας
την ακολουθία
ως εξής :
για κάθε
. Αναδρομικά μπορούμε να ορίσουμε και τις παραγώγους ανωτέρας τάξης,
τάξης με
,
για κάθε
.
Αποδείξτε ότι αν ο τύπος της ακολουθίας δίνεται από ένα πολυώνυμο βαθμού, δλδ
, με ακέραιους συντελεστές, τότε ισχύει ότι η
είναι η μηδενική ακολουθία, δλδ
για κάθε
.
Λίγο από την αρχή του περιστερώνα.
Αποδείξτε ότι σε κάθε ακολουθία φυσικών αριθμών υπάρχουν
με
τέτοιοι ώστε η διαφορά
να διαιρείται τέλεια από το
Λίγο από ακολουθία Fibonacci.
Η ακολουθία Fibonacci ορίζεσαι ως εξής : και
για κάθε
. Μπορείτε να δείξετε ότι κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν άθροισμα μη διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci, έτσι ώστε κάθε όρος να εμφανίζεται μία φορά;
Άσκηση 25
Έστω η ακολουθία και
τέτοια ώστε για κάθε όρο της ισχύει:
με
το υπόλοιπο της διαίρεσης του
με το
και
k.o .
Μπορείτε να υπολογίσετε το ;