Ασκήσεις Ακολουθιών | Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Archive for the ‘Ασκήσεις Ακολουθιών’ Category

Άθροισμα αποστάσεων.

Έστω το σύνολο ${1,2,\ldots,2n}$ , και μια διαμέριση αυτού του συνόλου σε δύο ακολουθίες ${\{a_{m}\}_{m \in [1,n]},\{b_{m}\}_{m \in [1,n]}}$ τέτοιες ώστε ${a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{n}}$ και ${ b_{1} > b_{2} > \ldots > b_{n}}$ . Mπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα ${\sum_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|}$ ;

Παράγωγος ακολουθίας.

leave a comment »

Έστω ακολουθία ακέραιων αριθμών ${\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}$ ορίζουμε σαν παράγωγο πρώτης τάξης της ακολουθίας ${\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}$ την ακολουθία ${\{\mathbb{D}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}$ ως εξής : ${\mathbb{D}f_{n}=f_{n+1}-f_{n}}$ για κάθε ${n \in \mathbb{N}}$ . Αναδρομικά μπορούμε να ορίσουμε και τις παραγώγους ανωτέρας τάξης, ${m+1}$ τάξης με ${m \in \mathbb{N}}$ , ${\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=\mathbb{D}^{m}f_{n+1}-\mathbb{D}^{m}f_{n}}$ για κάθε ${n \in \mathbb{N}}$ .

Αποδείξτε ότι αν ο τύπος της ακολουθίας δίνεται από ένα πολυώνυμο ${m}$ βαθμού, δλδ ${f_{n}=a_{m}n^{m}+a_{m-1}n^{m-1}+ \ldots +a_{1}n+a_{0}}$ , με ακέραιους συντελεστές, τότε ισχύει ότι η ${\{\mathbb{D}^{m+1}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}$ είναι η μηδενική ακολουθία, δλδ ${\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=0}$ για κάθε ${n \in \mathbb{N}}$ .

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 4, 2010 at 9:18 μμ

Αναρτήθηκε στις Ασκήσεις Ακολουθιών, Διακριτά Μαθηματικά

Tagged with Ακολουθίες, Διακριτά Μαθηματικά

Λίγο από την αρχή του περιστερώνα.

Λίγο από ακολουθία Fibonacci.

2 Σχόλια

Η ακολουθία Fibonacci ορίζεσαι ως εξής : $F_{0}=1, F_{1}=1$ και ${F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$ για κάθε ${n \in \mathbb{N}}$ . Μπορείτε να δείξετε ότι κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν άθροισμα μη διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci, έτσι ώστε κάθε όρος να εμφανίζεται μία φορά;