Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Ακολουθιών’ Category

Άθροισμα αποστάσεων.

5 Σχόλια

Έστω το σύνολο {1,2,\ldots,2n}, και μια διαμέριση αυτού του συνόλου σε δύο ακολουθίες {\{a_{m}\}_{m \in [1,n]},\{b_{m}\}_{m \in [1,n]}} τέτοιες ώστε {a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{n}} και { b_{1} > b_{2} > \ldots > b_{n}}. Mπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα {\sum_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 11, 2010 at 12:25 μμ

Παράγωγος ακολουθίας.

leave a comment »

Έστω ακολουθία ακέραιων αριθμών  {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ορίζουμε σαν παράγωγο πρώτης τάξης της ακολουθίας {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} την ακολουθία  {\{\mathbb{D}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ως εξής : {\mathbb{D}f_{n}=f_{n+1}-f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}. Αναδρομικά  μπορούμε να ορίσουμε και τις παραγώγους ανωτέρας τάξης, {m+1} τάξης με {m \in \mathbb{N}} , {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=\mathbb{D}^{m}f_{n+1}-\mathbb{D}^{m}f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}.

Αποδείξτε ότι αν ο τύπος της ακολουθίας δίνεται από ένα πολυώνυμο {m} βαθμού, δλδ {f_{n}=a_{m}n^{m}+a_{m-1}n^{m-1}+ \ldots +a_{1}n+a_{0}}, με ακέραιους συντελεστές, τότε ισχύει ότι η {\{\mathbb{D}^{m+1}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι η μηδενική ακολουθία, δλδ {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=0} για κάθε {n \in \mathbb{N}}.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 4, 2010 at 9:18 μμ

Λίγο από την αρχή του περιστερώνα.

leave a comment »

Αποδείξτε ότι σε κάθε ακολουθία {a_{1} < \ldots < a_{n+1}} φυσικών αριθμών υπάρχουν {a_{i},a_{j}} με {i \neq j} τέτοιοι ώστε η διαφορά {a_{i}-a_{j}} να διαιρείται τέλεια από το {n}

Λίγο από ακολουθία Fibonacci.

2 Σχόλια

Η ακολουθία Fibonacci ορίζεσαι ως εξής : F_{0}=1, F_{1}=1 και {F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}} για κάθε {n \in \mathbb{N}}. Μπορείτε να δείξετε ότι κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν άθροισμα μη διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci, έτσι ώστε κάθε όρος να εμφανίζεται μία φορά;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 17, 2010 at 12:26 πμ

Άσκηση 25

leave a comment »

Έστω η ακολουθία \{x_{m}\}_{m \in \mathbb{N}^{*}} και n \in \mathbb{N}^{*} τέτοια ώστε για κάθε όρο της ισχύει:

  1. x_{m}=x_{r} με r το υπόλοιπο της διαίρεσης του m με το n (m=r+kn)και
  2. x_{1}=log_{x_{n-1}}x_{n},x_{2}=log_{x_{n}}x_{1},x_{3}=log_{x_{1}}x_{2},\dots,x_{n}=log_{x_{n-2}}x_{n-1}, k.o .

Μπορείτε να υπολογίσετε το \prod_{i=1}^{\infty}x_{i};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 4, 2010 at 9:10 μμ

Άσκηση 23

8 Σχόλια

Ποιός είναι ο επόμενος όρος της ακολουθίας 1,3,4,9,10,12,13,...; Μπορείτε να βρείτε τον 100στό όρο;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 28, 2010 at 10:12 μμ

Άσκηση 2

4 Σχόλια

Ποια είναι η τιμή της παράστασης  {\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{\ldots}}}}}}} } όπου το πλήθος των ριζικών άπειρο.

*ο α είναι πραγματικός μη αρνητικός.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 27, 2010 at 2:15 μμ