Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου’ Category

Ένα πρόβλημα διάδοσης κουτσομπολιών.

leave a comment »

Σε μια πόλη με n+1 άτομα τo σπίτι του προέδρου της πόλης βρίσκεται στο κέντρο n ομόκεντρων κύκλων (βλέπε σχήμα)
image

Υπάρχουν n το πλήθος κύκλοι και σε κάθε κύκλο ένα ακριβώς σπίτι πολίτη της πόλης.

Eνα πρωι ο πρόεδρος μαθαίνει ένα κουτσομπολιό και αποφασίζει τυχαία να διαλέξει έναν άλλο πολίτη της πόλης για να του πεί το κουτσομπολιό. Η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του κύκλου έτσι ώστε p_1+\ldots +p_{n+1}=1 με p_1>\ldots>p_{n+1}. Ποια είναι η πιθανότητα ο πιο απομακρυσμένος πολίτης από το κέντρο να μάθει το νέο ύστερα από k διαδόσεις.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 3, 2013 at 3:11 πμ

Περίεργα σύνολα, η συνέχεια …

leave a comment »

Αν θέσουμε με C το σύνολο των αριθμών του [0,1] για τους οποίους ισχύει η εξής ιδιότητα:

«Στο τριαδικό ανάπτυγμα εμφανίζονται μόνο 0 και 2»

να αποδείξετε ότι C+C=[0,2]

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 8, 2011 at 1:25 πμ

Σύνολα και μέτρα, σχεδόν…

with one comment

Έστω {E} ένα πεπερασμένο σύνολο και {P_{E}} το δυναμοσύνολο του {E}. Aν {f} είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το {P_{E}} και πεδίο τιμών το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε, αν {A,B \subseteq E} με {A\cap B = \emptyset} τότε {f(A\cup B)=f(A)+f(B)}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα {F \subseteq E} τέτοιο ώστε

  1. {A \subseteq E} τότε {f(A)=f(A \setminus A\cap F)}
  2. {f(A)=0 \Leftrightarrow A \subseteq F}

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουνίου 19, 2010 at 1:24 πμ

Άσκηση 24

6 Σχόλια

Έστω \epsilon > 0, υπάρχει ανοικτό και πυκνό υποσύνολο του \mathbb{R} τέτοιο ώστε το συνολικό «μήκος» του να ειναι μικρότερο το \epsilon;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 30, 2010 at 2:40 μμ