Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Θεωρίας Συνόλων’ Category

Συνεκτικά σύνολα ακεραίων.

leave a comment »

Έστω S_{n}=\{1,\ldots,n\} και P_{n}=P\left(S_{n}\right) το δυναμοσύνολο του, τότε ένα σύνολο S\in P_{n} λέγεται συνεκτικό αν για κάθε x\in S ισχύει είτε x-1\in S είτε x+1\in S. Μπορείτε να βρείτε το πλήθος των συνεκτικών υποσυνόλων του S_{n};

Advertisements

Διαγράμματα Venn και κύκλοι.

leave a comment »

Ένα διάγραμμα Venn χρησιμοποιείται για να δείξει γεωμετρικά τη σχέση δύο ή τριών συνόλων (δείτε τα σχήματα παρακάτω). Συνήθως στα βιβλία μαθηματικών θα βρείτε μόνο τα παρακάτω σχήματα και ο λόγος είναι (μαθηματικός) απλός.  Κανένα διάγραμμα Venn για 4 ή περισσότερα σύνολα δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει κύκλους. Μπορείτε να αποδείξετε γιατί;

Διάγραμμα Venn για τρία σύνολα

Διάγραμμα Venn για τρία σύνολα

Διάγραμμα Venn για δύο σύνολα

Διάγραμμα Venn για δύο σύνολα

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 15, 2011 at 12:27 πμ

Περίεργα σύνολα, η συνέχεια …

leave a comment »

Αν θέσουμε με C το σύνολο των αριθμών του [0,1] για τους οποίους ισχύει η εξής ιδιότητα:

«Στο τριαδικό ανάπτυγμα εμφανίζονται μόνο 0 και 2»

να αποδείξετε ότι C+C=[0,2]

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 8, 2011 at 1:25 πμ

Σύνολο από δισύνολα ή όχι;

2 Σχόλια

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων η υπόθεση οτι υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων οδηγεί σε αντίφαση. Μπορείτε να δείξτε ότι και η υπόθεση «υπάρχει το σύνολο όλων των δισυνόλων» (δλδ τα σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα δυνατά σύνολα με δύο στοιχεία) οδηγεί και αυτό σε αντίφαση;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 13, 2011 at 11:59 πμ

Ένα περίεργο παιχνίδι.

leave a comment »

Έστω A \subset [0,1] το οποίο είναι αριθμήσιμο. Δύο παίκτες I και II παίζουν το εξής παιχνίδι:

Οι παίκτες επιλέγουν ψηφία (από το [0,\ldots,9] ο ένας μετά τον άλλον, έστω x_{1}, \ldots και y_{1}, \ldots, αντίστοιχα.

O πάικτης I κερδίζει αν ο αριθμός 0,x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}\ldots ανήκει στο A, αλλιώς κερδίζει ο II.  Αποδείξτε ότι ο II έχει στρατηγική νίκης.

 

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 21, 2011 at 8:49 μμ

Πόσες είναι οι πραγματικές συνεχείς συναρτήσεις;

leave a comment »

Έστω {A} το σύνολο όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων, μπορείτε να δείξετε ότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση {g: A \rightarrow \mathbb{R}};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Δεκέμβριος 14, 2010 at 9:17 μμ

Περίεργα σύνολα του επιπέδου.

leave a comment »

Μπορειτε να κατασκευασετε ενα συνολο {A\subset \mathbb{R}^{2}} τετοιο ωστε να ισχυει {A=B\cup C}, με {B\cap C = \emptyset}, το B να ειναι πεπερασμενο και το C μια στροφη του A, ;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Νοέμβριος 28, 2010 at 3:21 μμ