Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Πιθανοτήτων’ Category

Είναι δίκαιο το παιχνίδι;

2 Σχόλια

Ένα παιχνίδι από n παίκτες, έστω X_1,\dots,X_n θεωρείται δίκαιο αν κάθε παίκτης έχει την ίδια πιθανότητα να κερδίσει, δηλαδή αν η πιθανότητα να κερδίσει ο X_{i} παίκτης είναι P\left(X_i\right)=\dfrac{1}{n}.

n παίκτες μας παίζουν το εξής παιχνίδι, ρίχνουν ένα ζάρι και στη σειρά εκείνου που θα έρθει πρώτη φορά γράμματα κερδίζει.

Είναι δίκαιο το παιχνίδι ; Αν όχι ποιά θέση θα διαλέγατε;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 14, 2013 at 7:50 μμ

Ένα πρόβλημα διάδοσης κουτσομπολιών.

leave a comment »

Σε μια πόλη με n+1 άτομα τo σπίτι του προέδρου της πόλης βρίσκεται στο κέντρο n ομόκεντρων κύκλων (βλέπε σχήμα)
image

Υπάρχουν n το πλήθος κύκλοι και σε κάθε κύκλο ένα ακριβώς σπίτι πολίτη της πόλης.

Eνα πρωι ο πρόεδρος μαθαίνει ένα κουτσομπολιό και αποφασίζει τυχαία να διαλέξει έναν άλλο πολίτη της πόλης για να του πεί το κουτσομπολιό. Η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του κύκλου έτσι ώστε p_1+\ldots +p_{n+1}=1 με p_1>\ldots>p_{n+1}. Ποια είναι η πιθανότητα ο πιο απομακρυσμένος πολίτης από το κέντρο να μάθει το νέο ύστερα από k διαδόσεις.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 3, 2013 at 3:11 πμ

Λέξεις, ομάδες και πιθανότητες.

leave a comment »

Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα και L ένα σύνολο γεννητόρων της ομάδας για το οποίο ισχύει
x\in L\Rightarrow x^{-1}\in L. Αν διαλέξουμε (με επανατοποθέτηση) m στοιχεία του L ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξαμε το στοιχείο g\in G ;
Αλλάζει κάτι στο πρόβλημα μας αν η ομάδα μας είναι αβελιανή;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουνίου 15, 2012 at 11:26 πμ

Πόσα ψάρια υπάρχουν στη λίμνη;

leave a comment »

Αν υποθέσουμε ότι σε μια λίμνη υπάρχει άγνωστος αριθμός ψαριών, έστω N, και ψαρέψουμε από την λίμνη τυχαία L ψάρια τα οποία  τα σημαδεύουμε με μια κόκκινη αδιάβροχη μπογιά και τα αφήνουμε πάλι μέσα στη λίμνη. Να βρείτε τον αριθμό N εκείνον τον οποίο μεγιστοποιεί την πιθανότητα P_{n,k} την δεύτερη φορά που θα ψαρέψουμε τυχαία n ψάρια τα k να έχουν κόκκινη μπογιά.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Σεπτεμβρίου 24, 2011 at 7:33 μμ

Μεταθέσεις και Διαταραχές.

leave a comment »

Έστω n \in \mathbb{N^{*}} τότε συμβολίζουμε με S_{n} το σύνολο όλων των αμφιμονοσήμαντων συναρτήσεων από το \{1,2,\ldots,n\} στον εαυτό του. Κάθε f \in S_{n} την λέμε μετάθεση και κάθε μετάθεση f για την οποία ισχύει \forall i \in \{1,\ldots,n\} f(i)\neq i διαταραχή. Αν E_{n} είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε μια διαταραχή από το σύνολο μεταθέσεων S_{n} να αποδείξετε ότι \lim_{n \to \infty} E_{n}=\dfrac{1}{e}.

Στατιστική Boltzmann, Bose-Einstein, Fermi-Dirac.

leave a comment »

Έστω {n} σωματίδια κατανέμονται τυχαία σε {N} κελιά, με {N > n}.

  1. Ποιά η πιθανότητα ώστε {n} σωματίδια να κατανεμηθούν ανα ένα σε {n} κελιά;
  2. Ποιά η πιθανότητα ώστε τα {n} σωματίδια να κατανεμηθούν ανα ένα σε οποιαδήποτε κελιά;

Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί ένα μοντέλο μελέτης της Στατιστικής Φυσικής και ανάλογα με το θεωρούμενο δειγματικό χώρο των ισοπίθανων στοιχειωδών ενδεχομένων, έχουμε την αντίστοιχη Φυσική Στατιστική Αρχή. Διαβάστε τη συνέχεια της άσκησης

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 7, 2010 at 1:48 πμ

Το απαγορευμένο παιχνίδι.

4 Σχόλια

Ένας παίκτης του καζίνου έχει αποφασίσει οτι για να κερδίσει στο παιχνίδι κόκκινο-μαύρο της ρουλέτας, θα ακολουθήσει την εξής στρατηγική:

Θα ποντάρει τα λεφτά του μόνο στο κόκκινο. Την πρώτη φορά θα ποντάρει 1 ευρώ, αν χάσει τη πρώτη φορά   θα ποντάρει δύο ευρώ την επομένη κ.ο. μέχρι να κερδίσει, δλδ  θα ποντάρει τα διπλάσια λεφτά απο αυτά που έχασε την προηγούμενη φορά.
Με δεδομένο ότι στο παιχνίδι του κόκκινου-μαύρου αν κερδίσεις διπλασιάζεις τα λεφτά σου:

  1. Πόσα χρήματα είναι το κέρδος του (αν έχει) την πρώτη φορά που θα έχει επιτυχία ο παίκτης
  2. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει μια τουλάχιστον επιτυχία;
  3. Ποιό είναι το αναμενόμενο ποσό που θα χάσει ο παίκτης αλλα και ποιό το αναμενόμενο ποσό που θα κερδίσει (μετα από πολλούς καφέδες)
  4. Μπορείτε τώρα να δικαιολογήσετε γιατί αυτό ο τρόπος παιξίματος είναι απαγορευμένος στα καζίνο όλου του κόσμου;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 11, 2010 at 12:20 μμ