Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Πραγματικής Ανάλυσης’ Category

Ολοκληρώματα και γεωμετρία.

with one comment

Συνήθως τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα χρειάζονται μη τετριμμένους μετασχηματισμούς για την επίλυση τους. Όμως πολλές φορές οι γεωμετρικές ιδιότητες των υπό ολοκλήρωση συναρτήσεων μπορούν να μας δώσουν το ζητούμενο με πιο αποδοτικό τρόπο. Μπορείτε να λύσετε γεωμετρικά το παρακάτω ολοκλήρωμα;

\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+tan^{7}(x)}dx

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Σεπτεμβρίου 5, 2013 at 11:50 πμ

H Συνάρτηση Ποπ Κορν

3 Σχόλια

Mπορείτε να βρείτε τα σημεία συνέχειας ή ισοδύναμα τα σημεία ασυνέχειας της πραγματικής συνάρτησης με τύπο

f(x)=\left\{    \begin{array}{ll}    0&\mu\epsilon \quad x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cup\{0\}\\    \dfrac{1}{m}&\mu\epsilon\quad x=\dfrac{n}{m}\quad (m,n)=1, n\in\mathbb{Z},m>0\\    \end{array}    \right.

Ρητοί και άρρητοι μια σχέση … (α)συνέχειας

5 Σχόλια

Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση {f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}} η οποία να είναι συνεχής;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 21, 2011 at 7:59 μμ

Σταθερή ή οχι;

with one comment

Εστω συνεχης συναρτηση {f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} τετοια ωστε για καθε {x \in \mathbb{R}} ισχυει οτι {f(x^{2})=f(x)}. Αποδειξτε οτι η συναρτηση {f} ειναι σταθερη.

Υπόδειξη

Μια «γρήγορη» ακολουθία.

leave a comment »

Λέμε ότι μια πραγματική ακολουθία {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι πιο γρήγορη από μια άλλη ακολουθία {\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} αν ισχύει ότι οι ακολουθίες {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}{\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} και  {\dfrac{a_{n}}{b_{n}}} τείνουν  στο άπειρο. Αν {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} με {i \in \mathbb{N}} είναι μια αριθμήσιμη οικογένεια πραγματικών ακολουθιών που τείνουν στο άπειρο, αποδείξτε ότι υπάρχει πραγματική ακολουθία  {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}, η οποία είναι πιο γρήγορη από κάθε  {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}.

Πυκνές Ομάδες.

leave a comment »

Μπορείτε να αποδείξετε ότι κάθε προσθετική υποομάδα της {<\mathbb{R},+>} είναι είτε της μορφής {a\mathbb{Z}} για κάποιο {a \in \mathbb{R}} είτε πυκνή στο {\mathbb{R}};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 24, 2010 at 7:30 μμ

Μπορείτε να τους διατάξετε;

leave a comment »

Έστω τρείς πραγματικοί αριθμοί {a,b,c \in (0,\dfrac{\pi}{2})}, για τους οποίους ισχύει ότι:

  1. {cosa=a}
  2. {cos(sinb)=b}
  3. {sin(cosc)=c}

Μπορείτε να βρείτε την διάταξη των {a,b,c};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 18, 2010 at 12:43 μμ