Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Ασκήσεις Συνέχειας’ Category

H Συνάρτηση Ποπ Κορν

3 Σχόλια

Mπορείτε να βρείτε τα σημεία συνέχειας ή ισοδύναμα τα σημεία ασυνέχειας της πραγματικής συνάρτησης με τύπο

f(x)=\left\{    \begin{array}{ll}    0&\mu\epsilon \quad x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cup\{0\}\\    \dfrac{1}{m}&\mu\epsilon\quad x=\dfrac{n}{m}\quad (m,n)=1, n\in\mathbb{Z},m>0\\    \end{array}    \right.

Advertisements

Σταθερή ή οχι;

with one comment

Εστω συνεχης συναρτηση {f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} τετοια ωστε για καθε {x \in \mathbb{R}} ισχυει οτι {f(x^{2})=f(x)}. Αποδειξτε οτι η συναρτηση {f} ειναι σταθερη.

Υπόδειξη

Άσκηση 20

11 Σχόλια

Αποδείξτε ότι αν μια συνάρτηση {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} είναι συνεχής και φθίνουσα έχει μοναδικό σταθερό σημείο, δλδ υπάρχει ακριβώς ένα {x_{0}} τέτοιο ώστε {f(x_{0})=x_{0}}.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 22, 2010 at 1:41 μμ

Άσκηση 5

leave a comment »

Έστω {f[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R} }  ολοκληρώσιμη συνάρτηση και συνεχής στο σημείο { x_{0}=\dfrac{\alpha + \beta}{2}} με {f(x_{0})=\gamma > 0 } και {f(x) \geq 0 \quad \forall x \in [\alpha, \beta]}.

Aποδείξτε ότι : {\int_{\alpha}^{\beta}f(x) dx > 0}

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 28, 2010 at 1:17 μμ

Άσκηση 4

with one comment

Έστω {f:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R} } συνεχής συνάρτηση και έστω { \epsilon > 0} . Αποδείξτε οτι μπορούμε να χωρίσουμε το διάστημα {[\alpha, \beta]} σε πεπερασμένα το πλήθος διαδοχικά υποδιαστήματα ίσου μήκους έτσι ώστε:

αν τα {x}, {y} ανήκουν στο ίδιο υποδιάστημα τότε {|f(x)-f(y)|< \epsilon}

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 28, 2010 at 12:21 μμ