Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Γρίφοι’ Category

leave a comment »

Έστω ένα σύνολο S με \left|S\right|=n και μια οικογένεια υποσυνόλων του \{A_{1},\ldots,A_{m}\}. Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία x\neq y \in S υπάρχει A_{i} τέτοιο ώστε είτε x\in A_{i} και y\notin A_{i} είτε x\notin A_{i} και y\in A_{i} μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το m;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 25, 2012 at 11:03 πμ

Άνω φράγμα

leave a comment »

Έστω P\left([n]\right) το δυναμοσύνολο του \{1,\ldots,n\} και F\subseteq P\left([n]\right). Μπορείτε να βρείτε το \max |F| έτσι ώστε αν A,B με A\neq B και A\in F, B\in F τότε A\cap B\neq \emptyset

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 21, 2012 at 3:12 μμ

Μεταθέσεις και Διαταραχές.

leave a comment »

Έστω n \in \mathbb{N^{*}} τότε συμβολίζουμε με S_{n} το σύνολο όλων των αμφιμονοσήμαντων συναρτήσεων από το \{1,2,\ldots,n\} στον εαυτό του. Κάθε f \in S_{n} την λέμε μετάθεση και κάθε μετάθεση f για την οποία ισχύει \forall i \in \{1,\ldots,n\} f(i)\neq i διαταραχή. Αν E_{n} είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε μια διαταραχή από το σύνολο μεταθέσεων S_{n} να αποδείξετε ότι \lim_{n \to \infty} E_{n}=\dfrac{1}{e}.

Ένας Γκεντελιανός Γρίφος.

with one comment

Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια μηχανή η οποία τυπωνει καποιες εκφρασεις οι οποιες αποτελουνται απο τα παρακατω συμβολα

\sim, \ T, \ N \ (, \ )

Με τον ορο εκφραση εννοουμε καθε πεπερασμενη και μη κενη ακολουθια απο τα 5 συμβολα αυτα. Μια εκφραση ονομαζεται τυπώσιμη αν μπορει η μηχανη μας να την τυπωσει. Επισης υποθετουμε οτι αν μια εκφραση ειναι τυπώσιμητοτε η μηχανη θα την τυπωσει στο μελλον καποια στιγμη.Με τον όρο νόρμα μιας έκφρασης X εννοούμε την έκφραση X(X) και την συμβολίζουμε με N(X), με τον όρο πρόταση εννοούμε μια έκφραση της μορφής:

  1. T(X)
  2. TN(X)
  3. \sim T(X)
  4. \sim TN(X)

To νόημα που δίνουμε στις προτάσεις είναι το προφανές, το T σημαίνει τυπώσιμη, το N η νόρμα της και το \sim για το όχι. Ορίζουμε:

  • Η πρόταση T(X) είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση X είναι τυπώσιμη
  • Η πρόταση TN(X) είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση X(X) είναι τυπώσιμη
  • Η πρόταση \sim T(X) είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση X δεν είναι τυπώσιμη
  • Η πρόταση \sim TN(X) είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση X(X) δεν είναι τυπώσιμη

Επίσης υποθέτουμε ότι η μηχανή δεν μας κοροϊδεύει. Δεν τυπώνει ψευδείς προτάσεις αλλά μόνο αληθείς, δηλαδή αν η μηχανή τυπώσει την πρόταση T(X) τότε η έκφραση X κάποια στιγμή θα τυπωθεί από την μηχανή. Ορίσαμε καλά το πότε μια πρόταση είναι αληθής και πότε ψευδής. Το παράδοξο είναι ότι η μηχανή μας είναι μια αυτοαναφορική μηχανή, μπορεί να μιλάει για τον εαυτό της π.χ. οι εκφράσεις T(X) , \ \sim TN(X).

Ερώτηση: Μπορείτε να βρείτε μια πρόταση η οποία είναι αληθής άλλα δεν μπορεί να τυπωθεί;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 15, 2011 at 12:32 πμ

Οι κληρονόμοι και η μοιρασιά της κληρονομιάς.

leave a comment »

Είκοσι κληρονόμοι συμφώνησαν να καθήσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι και να μοιράσουν την κληρονομιά με τον εξής τρόπο: ο καθένας θα παίρνει το μέσο όρο των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστεί η κληρονομιά;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 3, 2011 at 7:51 μμ

Ο λογαριασμός τηλεφώνου.

leave a comment »

Ένας καθηγητής Μαθηματικών έδωσε την εξής αποστολή στους 20 μαθητές του. Είπε στον καθένα από μία λέξη και στόχος των μαθητών είναι να βάλουν και τις 20 λέξεις στη σωστή σειρά ώστε να αποκαλυφθεί μια πρόταση. Ο καθηγητής όμως έβαλε και έναν όρο, οι μαθητές θα πρέπει τηλεφωνικά να γνωστοποιούν τις λέξεις στους συμμαθητές τους (αν ένας μαθητής γνωρίζει 3 λέξεις μπορεί να τις μεταφέρει και στον επόμενο) με τον ελάχιστο αριθμό τηλεφώνων.Μπορείτενα βρείτε πόσα τηλεφωνήματα θα γίνουν;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Δεκέμβριος 8, 2010 at 8:27 μμ

Το χωριό των κανίβαλων και ο παπάς.

with one comment

Υπάρχει ένα χωριό στο οποίο ζούν 666 κανίβαλοι.Οι κανίβαλοι τρώνε ανθρώπους με τους εξής κανόνες:

  1. Ένας κανίβαλος τρώει σε καθε ευκαιρία ενα μη κανίβαλο ή εναν κανίβαλο που κοιμάται αλλα δεν θα φαει ποτε έναν ξύπνιο κανιβαλλο.
  2. Ένας κανίβαλος όταν τρώει άνθρωπο πέφτει σε νάρκη για 24 ωρες.
  3. Διαβάστε τη συνέχεια του Γρίφου

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Δεκέμβριος 2, 2010 at 7:48 μμ