Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Μαθηματικοί Διαγωνισμοί’ Category

Ένα πρόβλημα διάδοσης κουτσομπολιών.

leave a comment »

Σε μια πόλη με n+1 άτομα τo σπίτι του προέδρου της πόλης βρίσκεται στο κέντρο n ομόκεντρων κύκλων (βλέπε σχήμα)
image

Υπάρχουν n το πλήθος κύκλοι και σε κάθε κύκλο ένα ακριβώς σπίτι πολίτη της πόλης.

Eνα πρωι ο πρόεδρος μαθαίνει ένα κουτσομπολιό και αποφασίζει τυχαία να διαλέξει έναν άλλο πολίτη της πόλης για να του πεί το κουτσομπολιό. Η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του κύκλου έτσι ώστε p_1+\ldots +p_{n+1}=1 με p_1>\ldots>p_{n+1}. Ποια είναι η πιθανότητα ο πιο απομακρυσμένος πολίτης από το κέντρο να μάθει το νέο ύστερα από k διαδόσεις.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 3, 2013 at 3:11 πμ

leave a comment »

Έστω ένα σύνολο S με \left|S\right|=n και μια οικογένεια υποσυνόλων του \{A_{1},\ldots,A_{m}\}. Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία x\neq y \in S υπάρχει A_{i} τέτοιο ώστε είτε x\in A_{i} και y\notin A_{i} είτε x\notin A_{i} και y\in A_{i} μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το m;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 25, 2012 at 11:03 πμ

Χρώματα και επίπεδο.

with one comment

Έστω ότι βάφουμε με τρία χρώματα το επίπεδο \left(\mathbb{R}^{2}\right), μπορείτε να αποδείξετε ότι θα υπάρχουν δύο σημεία του επιπέδου με απόσταση 1 τα οποία θα έχουν το ίδιο χρώμα;

Συνεκτικά σύνολα ακεραίων.

leave a comment »

Έστω S_{n}=\{1,\ldots,n\} και P_{n}=P\left(S_{n}\right) το δυναμοσύνολο του, τότε ένα σύνολο S\in P_{n} λέγεται συνεκτικό αν για κάθε x\in S ισχύει είτε x-1\in S είτε x+1\in S. Μπορείτε να βρείτε το πλήθος των συνεκτικών υποσυνόλων του S_{n};

Χρωματιστό κολιέ.

leave a comment »

Με πόσους τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε ένα κολιέ με n χάντρες χρώματος κόκκινου και άσπρου;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 9, 2012 at 10:51 μμ

Πολυώνυμα και δράσεις.

leave a comment »

Έστω ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού ax^{2}+bx+c, αν επιτρέψουμε δύο «πράξεις»:

  1. Να αντικαταστήσουμε το a με το c
  2. Nα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή x με (x+t), t\in\mathbb{R}

Η ερώτηση είναι αν μπορούμε μέσα από τέτοια βήματα να πάρουμε το πολυώνυμο x^{2}-x-2 από το x^{2}-x-1

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 25, 2012 at 1:40 μμ

Άνω φράγμα

leave a comment »

Έστω P\left([n]\right) το δυναμοσύνολο του \{1,\ldots,n\} και F\subseteq P\left([n]\right). Μπορείτε να βρείτε το \max |F| έτσι ώστε αν A,B με A\neq B και A\in F, B\in F τότε A\cap B\neq \emptyset

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 21, 2012 at 3:12 μμ