Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Συνδυαστικές Ασκήσεις’ Category

Είναι δίκαιο το παιχνίδι;

2 Σχόλια

Ένα παιχνίδι από n παίκτες, έστω X_1,\dots,X_n θεωρείται δίκαιο αν κάθε παίκτης έχει την ίδια πιθανότητα να κερδίσει, δηλαδή αν η πιθανότητα να κερδίσει ο X_{i} παίκτης είναι P\left(X_i\right)=\dfrac{1}{n}.

n παίκτες μας παίζουν το εξής παιχνίδι, ρίχνουν ένα ζάρι και στη σειρά εκείνου που θα έρθει πρώτη φορά γράμματα κερδίζει.

Είναι δίκαιο το παιχνίδι ; Αν όχι ποιά θέση θα διαλέγατε;

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 14, 2013 at 7:50 μμ

Ένα περίεργο παιχίδι με μπάλες.

leave a comment »

Ένας παίκτης πρέπει να παίξει το παρακάτω παιχνίδι με σκοπό να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του.

Έχει μπροστά του n ίδιες μπάλες και οι επιτρεπτές κινήσεις είναι:

  • Η πρώτη κίνηση είναι να χωρίσει τις n μπάλες  σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες (μη κενά)
  • Κάθε φορά διαλέγει ένα σύνολο από μπάλες και το χωρίζει σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες.

Σε κάθε κίνηση του κερδίζει κάποια χρήματα με τον εξής αλγόριθμο:

Αν επιλέξει να χωρίσει ένα σύνολο από m μπάλες σε δύο άλλα έτσι ώστε το ένα να έχει x μπάλες και το δεύτερο y, με x+y=m τότε κερδίζει x\cdot y ευρώ.

Υπάρχει στρατηγική για τον παίκτη ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του;

Ένα πρόβλημα διαμέρισης.

with one comment

Υπάρχει διαμέριση των φυσικών αριθμών \Bbb N=\bigcup_{i=1}^{n}S_{i} τέτοια ώστε κάθε S_{i} να είναι μια αριθμητική πρόοδος με λόγο d_{i} και για κάθε i\neq j να ισχύει d_{i}\neq d_{j};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 26, 2013 at 4:37 μμ

Tο πρόβλημα των οκτώ βασιλισσών.

2 Σχόλια

Έστω ότι έχουμε μια σκακιέρα 8\times 8 και θέλουμε να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα οκτώ βασίλισσες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην απειλεί η μια την άλλη. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να το πετύχουμε αυτό;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 25, 2013 at 11:25 μμ

Σημεία στο επίπεδο.

leave a comment »

Έστω n σημεία στο επίπεδο \Bbb R^{2} τότε να αποδείξετε ότι :

  • είτε όλα είναι συγγραμικά
  • είτε υπάρχει ευθεία του επιπέδου που περιέχει ακριβώς δύο σημεία. 

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 24, 2013 at 12:18 πμ

Πλήθος αντισυμμετρικών συνόλων.

leave a comment »

Ένα A\subset \left[2n\right] λέγεται αντισυμμετρικό αν δεν περιέχει κανένα ζεύγος αριθμών τέτοιο ώστε η απόσταση τους να είναι n. Αν S(n) συμβολίζουμε το πλήθος των αντισυμμετρικών υποσυνόλων του [2n] μπορείτε να βρείτε ένα κλειστό τύπο για την S(n);

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 2, 2013 at 2:46 μμ

Χρώματα και επίπεδο.

with one comment

Έστω ότι βάφουμε με τρία χρώματα το επίπεδο \left(\mathbb{R}^{2}\right), μπορείτε να αποδείξετε ότι θα υπάρχουν δύο σημεία του επιπέδου με απόσταση 1 τα οποία θα έχουν το ίδιο χρώμα;