Ένα περίεργο παιχίδι με μπάλες.

Ένας παίκτης πρέπει να παίξει το παρακάτω παιχνίδι με σκοπό να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του.

Έχει μπροστά του ίδιες μπάλες και οι επιτρεπτές κινήσεις είναι:

• Η πρώτη κίνηση είναι να χωρίσει τις μπάλες  σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες (μη κενά)
• Κάθε φορά διαλέγει ένα σύνολο από μπάλες και το χωρίζει σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες.

Σε κάθε κίνηση του κερδίζει κάποια χρήματα με τον εξής αλγόριθμο:

Αν επιλέξει να χωρίσει ένα σύνολο από μπάλες σε δύο άλλα έτσι ώστε το ένα να έχει μπάλες και το δεύτερο , με τότε κερδίζει ευρώ.

Υπάρχει στρατηγική για τον παίκτη ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του;

Έστω ένα σύνολο με και μια οικογένεια υποσυνόλων του . Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία υπάρχει τέτοιο ώστε είτε και είτε και μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το ;

Πολυώνυμα και δράσεις.

Έστω ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού , αν επιτρέψουμε δύο «πράξεις»:

1. Να αντικαταστήσουμε το με το
2. Nα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή με

Η ερώτηση είναι αν μπορούμε μέσα από τέτοια βήματα να πάρουμε το πολυώνυμο από το

11 ερωτήσεις …

Έστω ένας αριθμός από το 1 μέχρι το 2000 είναι αλήθεια ότι με 11 ερωτήσεις που σαν απάντηση έχουν το ΝΑΙ και το ΟΧΙ, μπορεί ένας Μαθηματικός να βρει ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Είναι ο ελάχιστος αριθμός ερωτήσεων ο 11;

Παραγοντοποίηση σε ημιομάδα.

Έστω το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών της μορφής . Ένα στοιχείο του λέγεται πρώτος αν και οι μόνοι διαιρέτες του από το σύνολο είναι ο και ο . Αν ένα στοιχείο του δεν είναι πρώτος, ονομάζεται σύνθετος.

1. Nα αποδείξετε ότι κάθε σύνθετος είναι γινόμενο πρώτων.
2. Nα βρεθεί ο ελάχιστος σύνθετος που μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων με δύο διαφορετικές αναλύσεις σε πρώτους παράγοντες.

(Η άσκηση αυτή αποδείκνύει ότι το το μονοσήμαντο της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες δεν ισχύει σε ημιομάδες)

Μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς;

Αν υποθέσουμε ότι κάποιος σας δίνει αριθμούς, έστω , και το μόνο που γνωρίζετε είναι ότι ο μεγαλύτερος έχει ψηφία. Μπορείτε να βρείτε αριθμούς , έτσι ώστε αν σας δώσουν τον να βρείτε τους  ;

Οι ακολουθίες πάνε περίπατο …

Έστω δύο φυσικοί αριθμοί να βρείτε πόσες ακολουθίες μήκους μπορούμε να έχουμε έτσι ώστε

Γεωμετρική πρόοδος και διαστήματα φυσικών αριθμών.

Έστω , να αποδείξετε ότι:

1. Δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί και του διαστήματος  που να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
2. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς  και του διαστήματος  που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Πολυώνυμα και πρώτοι αριθμοί.

Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι για κάθε , η ακολουθία με περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους αριθμούς να αποδείξετε ότι:
Για κάθε υπάρχει πολυώνυμο (δλδ έχει ακέραιους συντελεστές) τέτοιο ώστε

και είναι πρώτοι αριθμοί.

Πλήθος παραγοντοποιήσεων.

Έστω . Aν είναι ο αριθμός των διαφορετικών παραγοντοποιήσεων του σε δύο φυσικούς και έτσι ώστε με , να προσδιορίσετε ένα τύπο για τον .