Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Archive for the ‘Aσκήσεις Θεωρίας Αριθμών’ Category

Ένα περίεργο παιχίδι με μπάλες.

leave a comment »

Ένας παίκτης πρέπει να παίξει το παρακάτω παιχνίδι με σκοπό να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του.

Έχει μπροστά του n ίδιες μπάλες και οι επιτρεπτές κινήσεις είναι:

  • Η πρώτη κίνηση είναι να χωρίσει τις n μπάλες  σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες (μη κενά)
  • Κάθε φορά διαλέγει ένα σύνολο από μπάλες και το χωρίζει σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες.

Σε κάθε κίνηση του κερδίζει κάποια χρήματα με τον εξής αλγόριθμο:

Αν επιλέξει να χωρίσει ένα σύνολο από m μπάλες σε δύο άλλα έτσι ώστε το ένα να έχει x μπάλες και το δεύτερο y, με x+y=m τότε κερδίζει x\cdot y ευρώ.

Υπάρχει στρατηγική για τον παίκτη ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του;

leave a comment »

Έστω ένα σύνολο S με \left|S\right|=n και μια οικογένεια υποσυνόλων του \{A_{1},\ldots,A_{m}\}. Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία x\neq y \in S υπάρχει A_{i} τέτοιο ώστε είτε x\in A_{i} και y\notin A_{i} είτε x\notin A_{i} και y\in A_{i} μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το m;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιουλίου 25, 2012 at 11:03 πμ

Πολυώνυμα και δράσεις.

leave a comment »

Έστω ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού ax^{2}+bx+c, αν επιτρέψουμε δύο «πράξεις»:

  1. Να αντικαταστήσουμε το a με το c
  2. Nα αντικαταστήσουμε την μεταβλητή x με (x+t), t\in\mathbb{R}

Η ερώτηση είναι αν μπορούμε μέσα από τέτοια βήματα να πάρουμε το πολυώνυμο x^{2}-x-2 από το x^{2}-x-1

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 25, 2012 at 1:40 μμ

11 ερωτήσεις …

leave a comment »

Έστω ένας αριθμός από το 1 μέχρι το 2000 είναι αλήθεια ότι με 11 ερωτήσεις που σαν απάντηση έχουν το ΝΑΙ και το ΟΧΙ, μπορεί ένας Μαθηματικός να βρει ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Είναι ο ελάχιστος αριθμός ερωτήσεων ο 11;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 13, 2012 at 7:15 μμ

Παραγοντοποίηση σε ημιομάδα.

leave a comment »

Έστω S_{4n+1}=\{1,5,9,13,17,\ldots\} το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών της μορφής 4n+1. Ένα στοιχείο p του S_{4n+1} λέγεται S_{4n+1}-πρώτος αν p>1 και οι μόνοι διαιρέτες του p από το σύνολο S_{4n+1} είναι ο p και ο 1. Αν ένα στοιχείο του S_{4n+1} δεν είναι S_{4n+1}-πρώτος, ονομάζεται S_{4n+1}-σύνθετος.

  1. Nα αποδείξετε ότι κάθε S_{4n+1}-σύνθετος είναι γινόμενο S_{4n+1}-πρώτων.
  2. Nα βρεθεί ο ελάχιστος S_{4n+1}-σύνθετος που μπορεί να γραφεί ως γινόμενο S_{4n+1}-πρώτων με δύο διαφορετικές αναλύσεις σε πρώτους παράγοντες.
(Η άσκηση αυτή αποδείκνύει ότι το το μονοσήμαντο της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες δεν ισχύει σε ημιομάδες)

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Σεπτεμβρίου 21, 2011 at 11:29 πμ

Μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς;

leave a comment »

Αν υποθέσουμε ότι κάποιος σας δίνει n αριθμούς, έστω x_{1},\ldots,x_{n}, και το μόνο που γνωρίζετε είναι ότι ο μεγαλύτερος έχει m >0 ψηφία. Μπορείτε να βρείτε n αριθμούς y_{1},\ldots,y_{n}, έτσι ώστε αν σας δώσουν τον x_{1}y_{1}+\ldots+x_{n}y_{n} να βρείτε τους x_{1},\ldots,x_{n} ;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Σεπτεμβρίου 17, 2011 at 10:30 πμ

Οι ακολουθίες πάνε περίπατο …

leave a comment »

Έστω δύο φυσικοί αριθμοί n,m να βρείτε πόσες ακολουθίες μήκους k μπορούμε να έχουμε έτσι ώστε x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{k}=n