Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Posts Tagged ‘Ακολουθίες

Μια «γρήγορη» ακολουθία.

leave a comment »

Λέμε ότι μια πραγματική ακολουθία {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι πιο γρήγορη από μια άλλη ακολουθία {\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} αν ισχύει ότι οι ακολουθίες {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}{\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} και  {\dfrac{a_{n}}{b_{n}}} τείνουν  στο άπειρο. Αν {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} με {i \in \mathbb{N}} είναι μια αριθμήσιμη οικογένεια πραγματικών ακολουθιών που τείνουν στο άπειρο, αποδείξτε ότι υπάρχει πραγματική ακολουθία  {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}, η οποία είναι πιο γρήγορη από κάθε  {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}.

Advertisements

Άθροισμα αποστάσεων.

5 Σχόλια

Έστω το σύνολο {1,2,\ldots,2n}, και μια διαμέριση αυτού του συνόλου σε δύο ακολουθίες {\{a_{m}\}_{m \in [1,n]},\{b_{m}\}_{m \in [1,n]}} τέτοιες ώστε {a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{n}} και { b_{1} > b_{2} > \ldots > b_{n}}. Mπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα {\sum_{i=1}^{n}|a_{i}-b_{i}|};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 11, 2010 at 12:25 μμ

Παράγωγος ακολουθίας.

leave a comment »

Έστω ακολουθία ακέραιων αριθμών  {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ορίζουμε σαν παράγωγο πρώτης τάξης της ακολουθίας {\{f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} την ακολουθία  {\{\mathbb{D}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} ως εξής : {\mathbb{D}f_{n}=f_{n+1}-f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}. Αναδρομικά  μπορούμε να ορίσουμε και τις παραγώγους ανωτέρας τάξης, {m+1} τάξης με {m \in \mathbb{N}} , {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=\mathbb{D}^{m}f_{n+1}-\mathbb{D}^{m}f_{n}} για κάθε  {n \in \mathbb{N}}.

Αποδείξτε ότι αν ο τύπος της ακολουθίας δίνεται από ένα πολυώνυμο {m} βαθμού, δλδ {f_{n}=a_{m}n^{m}+a_{m-1}n^{m-1}+ \ldots +a_{1}n+a_{0}}, με ακέραιους συντελεστές, τότε ισχύει ότι η {\{\mathbb{D}^{m+1}f_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι η μηδενική ακολουθία, δλδ {\mathbb{D}^{m+1}f_{n}=0} για κάθε {n \in \mathbb{N}}.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαΐου 4, 2010 at 9:18 μμ

Λίγο από την αρχή του περιστερώνα.

leave a comment »

Αποδείξτε ότι σε κάθε ακολουθία {a_{1} < \ldots < a_{n+1}} φυσικών αριθμών υπάρχουν {a_{i},a_{j}} με {i \neq j} τέτοιοι ώστε η διαφορά {a_{i}-a_{j}} να διαιρείται τέλεια από το {n}