Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Posts Tagged ‘Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

Παραγοντοποίηση σε ημιομάδα.

leave a comment »

Έστω S_{4n+1}=\{1,5,9,13,17,\ldots\} το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών της μορφής 4n+1. Ένα στοιχείο p του S_{4n+1} λέγεται S_{4n+1}-πρώτος αν p>1 και οι μόνοι διαιρέτες του p από το σύνολο S_{4n+1} είναι ο p και ο 1. Αν ένα στοιχείο του S_{4n+1} δεν είναι S_{4n+1}-πρώτος, ονομάζεται S_{4n+1}-σύνθετος.

  1. Nα αποδείξετε ότι κάθε S_{4n+1}-σύνθετος είναι γινόμενο S_{4n+1}-πρώτων.
  2. Nα βρεθεί ο ελάχιστος S_{4n+1}-σύνθετος που μπορεί να γραφεί ως γινόμενο S_{4n+1}-πρώτων με δύο διαφορετικές αναλύσεις σε πρώτους παράγοντες.
(Η άσκηση αυτή αποδείκνύει ότι το το μονοσήμαντο της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες δεν ισχύει σε ημιομάδες)
Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Σεπτεμβρίου 21, 2011 at 11:29 πμ

Γεωμετρική πρόοδος και διαστήματα φυσικών αριθμών.

leave a comment »

Έστω n \in \mathbb{N}^{*}, να αποδείξετε ότι:

  1. Δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί n_{1},n_{2},n_{3} και n_{4} του διαστήματος [n^{2}, (n+1)^{2}] που να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
  2. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς n_{1},n_{2},n_{3} και n_{4} του διαστήματος [n^{3}, (n+1)^{3}] που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 21, 2011 at 8:41 μμ

Πολυώνυμα και πρώτοι αριθμοί.

leave a comment »

Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι για κάθε {m \in \mathbb{N}^{*}}, η ακολουθία {mk+1} με {k=1,2,3,\ldots} περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους αριθμούς να αποδείξετε ότι:
Για κάθε {n \in \mathbb{N}^{*}} υπάρχει πολυώνυμο {f(x) \in \mathbb{Z}[x]} (δλδ έχει ακέραιους συντελεστές) τέτοιο ώστε

{f(1) < f(2) < \ldots < f(n)}

και {f(1),f(2),\ldots,f(n)} είναι πρώτοι αριθμοί.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Απρίλιος 29, 2010 at 2:12 μμ