Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Posts Tagged ‘Ασκήσεις Πραγματικής Ανάλυσης

H Συνάρτηση Ποπ Κορν

3 Σχόλια

Mπορείτε να βρείτε τα σημεία συνέχειας ή ισοδύναμα τα σημεία ασυνέχειας της πραγματικής συνάρτησης με τύπο

f(x)=\left\{    \begin{array}{ll}    0&\mu\epsilon \quad x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cup\{0\}\\    \dfrac{1}{m}&\mu\epsilon\quad x=\dfrac{n}{m}\quad (m,n)=1, n\in\mathbb{Z},m>0\\    \end{array}    \right.

Advertisements

Ρητοί και άρρητοι μια σχέση … (α)συνέχειας

5 Σχόλια

Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση {f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}} η οποία να είναι συνεχής;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Ιανουαρίου 21, 2011 at 7:59 μμ

Σταθερή ή οχι;

with one comment

Εστω συνεχης συναρτηση {f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} τετοια ωστε για καθε {x \in \mathbb{R}} ισχυει οτι {f(x^{2})=f(x)}. Αποδειξτε οτι η συναρτηση {f} ειναι σταθερη.

Υπόδειξη

Μια «γρήγορη» ακολουθία.

leave a comment »

Λέμε ότι μια πραγματική ακολουθία {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} είναι πιο γρήγορη από μια άλλη ακολουθία {\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} αν ισχύει ότι οι ακολουθίες {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}{\{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} και  {\dfrac{a_{n}}{b_{n}}} τείνουν  στο άπειρο. Αν {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}} με {i \in \mathbb{N}} είναι μια αριθμήσιμη οικογένεια πραγματικών ακολουθιών που τείνουν στο άπειρο, αποδείξτε ότι υπάρχει πραγματική ακολουθία  {\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}, η οποία είναι πιο γρήγορη από κάθε  {\{c^{i}_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}}.

Πυκνές Ομάδες.

leave a comment »

Μπορείτε να αποδείξετε ότι κάθε προσθετική υποομάδα της {<\mathbb{R},+>} είναι είτε της μορφής {a\mathbb{Z}} για κάποιο {a \in \mathbb{R}} είτε πυκνή στο {\mathbb{R}};

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 24, 2010 at 7:30 μμ