Προβλήματα και Γρίφοι Μαθηματικών

Ενα blog για τα Μαθηματικά

Posts Tagged ‘Διακριτά Μαθηματικά

Γραφήματα και χρώματα

leave a comment »

Έστω G ένα άπειρο γράφημα και n \in \mathbb{N}^{*}, αποδείξτε ότι αν κάθε πεπερασμένο υπογράφημα του G βάφεται με n χρώματα τότε και το G βάφεται με n χρώματα.

Advertisements

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Οκτώβριος 5, 2011 at 11:14 μμ

Ζυγαριά ακέραιων αριθμών.

leave a comment »

Έστω n ένας θετικός ακέραιος  και υποθέτουμε ότι έχουμε μία ζυγαριά και n βάρη τα οποία έχουν τιμές 2^{0},2^{1},\ldots,2^{n-1}. Θα τοποθετήσουμε τα βάρη πάνω στη ζυγαριά (και τα n) με την εξής προυπόθεση:

Σε κάθε βήμα το συνολικό βάρος της αριστερής ζυγαριάς πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το βάρος της δεξιάς.

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κάνουμε αυτή τη διαδικασία;

ΙΜΟ 2011

Μονότονοι ακέραιοι αριθμοί.

leave a comment »

Έστω m ένας θετικός φυσικός αριθμός με δεκαδική ανάπτυξη

m=a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0}

o m λέγεται μονότονος αν a_{n} \leq a_{n-1} \leq \ldots \leq a_{0}.

Πόσοι μονότονοι υπάρχουν με το πολύ 2000 ψηφία;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Μαρτίου 20, 2011 at 7:05 μμ

Γεωμετρική πρόοδος και διαστήματα φυσικών αριθμών.

leave a comment »

Έστω n \in \mathbb{N}^{*}, να αποδείξετε ότι:

  1. Δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί n_{1},n_{2},n_{3} και n_{4} του διαστήματος [n^{2}, (n+1)^{2}] που να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
  2. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς n_{1},n_{2},n_{3} και n_{4} του διαστήματος [n^{3}, (n+1)^{3}] που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Φεβρουαρίου 21, 2011 at 8:41 μμ

Ο λογαριασμός τηλεφώνου.

leave a comment »

Ένας καθηγητής Μαθηματικών έδωσε την εξής αποστολή στους 20 μαθητές του. Είπε στον καθένα από μία λέξη και στόχος των μαθητών είναι να βάλουν και τις 20 λέξεις στη σωστή σειρά ώστε να αποκαλυφθεί μια πρόταση. Ο καθηγητής όμως έβαλε και έναν όρο, οι μαθητές θα πρέπει τηλεφωνικά να γνωστοποιούν τις λέξεις στους συμμαθητές τους (αν ένας μαθητής γνωρίζει 3 λέξεις μπορεί να τις μεταφέρει και στον επόμενο) με τον ελάχιστο αριθμό τηλεφώνων.Μπορείτενα βρείτε πόσα τηλεφωνήματα θα γίνουν;

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Δεκέμβριος 8, 2010 at 8:27 μμ

Ποιός θα νικήσει;

leave a comment »

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι:

  • Κάθε παίκτης διαλέγει δύο αριθμούς, έστω {a,b},  από το σύνολο {A=\{1,2,\ldots, 100\}} και τους αντικαθιστά με τον {a+b+ab}.
  • Κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει με όποια σειρά θέλει τους αριθμούς.
  • Νικητής είναι αυτός που στο τέλος, δλδ μόλις το {A} γίνει μονοσύνολο, έχει τον μεγαλύτερο αριθμό.

Μπορείτε να βρείτε μια στρατηγική ώστε κάποιος από τους δύο να κερδίσει σίγουρα;

 

Written by Κιουβρέκης Γιάννης / Kiouvrekis Yiannis

Νοέμβριος 26, 2010 at 6:01 μμ

Το βιβλιοπωλείο και οι πωλήσεις βιβλίων.

leave a comment »

Την χρονιά που μας πέρασε ένα βιβλιοπωλείο πούλησε συνολικά 600 βιβλία Μαθηματικών. Το βιβλιοπωλείο ήταν ανοικτό και τις 7 μέρες κάθε εβδομάδας και πουλούσε τουλάχιστον ένα βιβλίο Μαθηματικών τη μέρα. Είναι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος από διαδοχικές ημέρες όπου πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία;