Έστω ένα σύνολο με και μια οικογένεια υποσυνόλων του . Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία υπάρχει τέτοιο ώστε είτε και είτε και μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το ;

Άνω φράγμα

Έστω το δυναμοσύνολο του και . Μπορείτε να βρείτε το έτσι ώστε αν με και τότε

Μεταθέσεις και Διαταραχές.

Έστω τότε συμβολίζουμε με το σύνολο όλων των αμφιμονοσήμαντων συναρτήσεων από το στον εαυτό του. Κάθε την λέμε μετάθεση και κάθε μετάθεση για την οποία ισχύει διαταραχή. Αν είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε μια διαταραχή από το σύνολο μεταθέσεων να αποδείξετε ότι .

Ένας Γκεντελιανός Γρίφος.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια μηχανή η οποία τυπωνει καποιες εκφρασεις οι οποιες αποτελουνται απο τα παρακατω συμβολα

Με τον ορο εκφραση εννοουμε καθε πεπερασμενη και μη κενη ακολουθια απο τα 5 συμβολα αυτα. Μια εκφραση ονομαζεται τυπώσιμη αν μπορει η μηχανη μας να την τυπωσει. Επισης υποθετουμε οτι αν μια εκφραση ειναι τυπώσιμητοτε η μηχανη θα την τυπωσει στο μελλον καποια στιγμη.Με τον όρο νόρμα μιας έκφρασης εννοούμε την έκφραση και την συμβολίζουμε με , με τον όρο πρόταση εννοούμε μια έκφραση της μορφής:

1. 
2. 
3. 
4. 

To νόημα που δίνουμε στις προτάσεις είναι το προφανές, το σημαίνει τυπώσιμη, το η νόρμα της και το για το όχι. Ορίζουμε:

• Η πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση είναι τυπώσιμη
• Η πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση είναι τυπώσιμη
• Η πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση δεν είναι τυπώσιμη
• Η πρόταση είναι αληθής αν και μόνο αν η έκφραση δεν είναι τυπώσιμη

Επίσης υποθέτουμε ότι η μηχανή δεν μας κοροϊδεύει. Δεν τυπώνει ψευδείς προτάσεις αλλά μόνο αληθείς, δηλαδή αν η μηχανή τυπώσει την πρόταση τότε η έκφραση κάποια στιγμή θα τυπωθεί από την μηχανή. Ορίσαμε καλά το πότε μια πρόταση είναι αληθής και πότε ψευδής. Το παράδοξο είναι ότι η μηχανή μας είναι μια αυτοαναφορική μηχανή, μπορεί να μιλάει για τον εαυτό της π.χ. οι εκφράσεις .

Ερώτηση: Μπορείτε να βρείτε μια πρόταση η οποία είναι αληθής άλλα δεν μπορεί να τυπωθεί;

Οι κληρονόμοι και η μοιρασιά της κληρονομιάς.

Είκοσι κληρονόμοι συμφώνησαν να καθήσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι και να μοιράσουν την κληρονομιά με τον εξής τρόπο: ο καθένας θα παίρνει το μέσο όρο των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστεί η κληρονομιά;

Ο λογαριασμός τηλεφώνου.

Ένας καθηγητής Μαθηματικών έδωσε την εξής αποστολή στους 20 μαθητές του. Είπε στον καθένα από μία λέξη και στόχος των μαθητών είναι να βάλουν και τις 20 λέξεις στη σωστή σειρά ώστε να αποκαλυφθεί μια πρόταση. Ο καθηγητής όμως έβαλε και έναν όρο, οι μαθητές θα πρέπει τηλεφωνικά να γνωστοποιούν τις λέξεις στους συμμαθητές τους (αν ένας μαθητής γνωρίζει 3 λέξεις μπορεί να τις μεταφέρει και στον επόμενο) με τον ελάχιστο αριθμό τηλεφώνων.Μπορείτενα βρείτε πόσα τηλεφωνήματα θα γίνουν;

Το χωριό των κανίβαλων και ο παπάς.

Υπάρχει ένα χωριό στο οποίο ζούν 666 κανίβαλοι.Οι κανίβαλοι τρώνε ανθρώπους με τους εξής κανόνες:

1. Ένας κανίβαλος τρώει σε καθε ευκαιρία ενα μη κανίβαλο ή εναν κανίβαλο που κοιμάται αλλα δεν θα φαει ποτε έναν ξύπνιο κανιβαλλο.
2. Ένας κανίβαλος όταν τρώει άνθρωπο πέφτει σε νάρκη για 24 ωρες.

Ποιός θα νικήσει;

Δύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι:

• Κάθε παίκτης διαλέγει δύο αριθμούς, έστω ,  από το σύνολο και τους αντικαθιστά με τον .
• Κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει με όποια σειρά θέλει τους αριθμούς.
• Νικητής είναι αυτός που στο τέλος, δλδ μόλις το γίνει μονοσύνολο, έχει τον μεγαλύτερο αριθμό.

Μπορείτε να βρείτε μια στρατηγική ώστε κάποιος από τους δύο να κερδίσει σίγουρα;

 

Ενα αεροδρόμιο για τρείς πόλεις.

Τρεις πόλεις είναι χτισμένες σεμια πεδιάδα και ο νομαρχης  αποφάσισε να φτιάξει ένα αεροδρόμιο που να τις εξυπηρετεί. Οι πόλεις θα συνδεθούν με το αεροδρόμιο με αυτοκινητοδρόμους. Οι δρόμοι όμως κοστίζουν και ο νομάρχης θέλει να ξοδέψει οσο δυνατόν λιγότερα χρήματα. Σας προσλαμβάνει  για να αποφασίσετε που πρέπει να χτιστεί το αεροδρόμιο ώστε το κόστος κατασκευής των τριών αυτοκινητοδρόμων να είναι ελάχιστο. Μάλιστα, το μόνο που προτίθεται να σας δώσει είναι ένας χάρτης της περιοχής, ένας κανόνας κι ένας διαβήτης. Μπορείτε  υποδείξετε το καταλληλότερο σημείο;

Η καταδίκη του συμβούλου.

Ο γνωστός Βασιλιάς από την χώρα των Παραδόξων δεν χάρηκε που έμεινε μια μέρα νηστικός και αποφάσισε να δικάσει για εσχάτη προδοσία τον εξυπνάκια σύμβουλο.

Την απόφαση του διακστηρίου την μετέφερε ο ίδιος ο Βασιλιάς στον σύμβουλο του, ήταν 31 του Δεκέμβρη.

-Καταδικάζεσαι σε θάνατο για εσχάτη προδοσία

-Μα Βασιλια μου …

-Δεν έχει μα και ξεμα. Θα εκτελεστείς κάποια μέρα του Ιανουαρίου.

-Μπορείτε να μου πείτε τουλάχιστον ποιά;