Οι ακολουθίες πάνε περίπατο …

Έστω δύο φυσικοί αριθμοί να βρείτε πόσες ακολουθίες μήκους μπορούμε να έχουμε έτσι ώστε

Κανονικό Πολύγωνο και γινόμενο διαγωνίων.

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στο μοναδιαίο κύκλο. Αν  είναι μια κορυφή του και από αυτή την κορυφή φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ( το πλήθος) προς τις άλλες κορυφές , να αποδείξτε ότι το γινόμενο των μηκών   ισούται με .

Ένα απλό παιχνίδι στρατηγικής.

Το παιχνίδι που ακολουθεί παίζεται με δύο παίκτες, έστω και . Υποθέτουμε ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 31 νομίσματα και κάθε παίκτης είναι υποχρεωμένος να πάρει είτε ένα είτε δύο είτε τρία νομίσματα, χάνει εκείνος ο οποίος δεν θα μπορεί να τραβήξει πλεόν.
Υπάρχει στρατηγική για κάποιον από τους δύο παίκτες με την οποία να κερδίζει σίγουρα; Θα άλλαζε τίποτα στο παιχνίδι αν υπήρχαν 32 νομίσματα στο κουτί;
(Oι παίκτες παίζουν με την σειρά και σέβονται τις αποφάσεις του αντιπάλου) 

Οι κληρονόμοι και η μοιρασιά της κληρονομιάς.

Είκοσι κληρονόμοι συμφώνησαν να καθήσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι και να μοιράσουν την κληρονομιά με τον εξής τρόπο: ο καθένας θα παίρνει το μέσο όρο των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστεί η κληρονομιά;

Ο λογαριασμός τηλεφώνου.

Ένας καθηγητής Μαθηματικών έδωσε την εξής αποστολή στους 20 μαθητές του. Είπε στον καθένα από μία λέξη και στόχος των μαθητών είναι να βάλουν και τις 20 λέξεις στη σωστή σειρά ώστε να αποκαλυφθεί μια πρόταση. Ο καθηγητής όμως έβαλε και έναν όρο, οι μαθητές θα πρέπει τηλεφωνικά να γνωστοποιούν τις λέξεις στους συμμαθητές τους (αν ένας μαθητής γνωρίζει 3 λέξεις μπορεί να τις μεταφέρει και στον επόμενο) με τον ελάχιστο αριθμό τηλεφώνων.Μπορείτενα βρείτε πόσα τηλεφωνήματα θα γίνουν;

Ενα αεροδρόμιο για τρείς πόλεις.

Τρεις πόλεις είναι χτισμένες σεμια πεδιάδα και ο νομαρχης  αποφάσισε να φτιάξει ένα αεροδρόμιο που να τις εξυπηρετεί. Οι πόλεις θα συνδεθούν με το αεροδρόμιο με αυτοκινητοδρόμους. Οι δρόμοι όμως κοστίζουν και ο νομάρχης θέλει να ξοδέψει οσο δυνατόν λιγότερα χρήματα. Σας προσλαμβάνει  για να αποφασίσετε που πρέπει να χτιστεί το αεροδρόμιο ώστε το κόστος κατασκευής των τριών αυτοκινητοδρόμων να είναι ελάχιστο. Μάλιστα, το μόνο που προτίθεται να σας δώσει είναι ένας χάρτης της περιοχής, ένας κανόνας κι ένας διαβήτης. Μπορείτε  υποδείξετε το καταλληλότερο σημείο;

Η καταδίκη του συμβούλου.

Ο γνωστός Βασιλιάς από την χώρα των Παραδόξων δεν χάρηκε που έμεινε μια μέρα νηστικός και αποφάσισε να δικάσει για εσχάτη προδοσία τον εξυπνάκια σύμβουλο.

Την απόφαση του διακστηρίου την μετέφερε ο ίδιος ο Βασιλιάς στον σύμβουλο του, ήταν 31 του Δεκέμβρη.

-Καταδικάζεσαι σε θάνατο για εσχάτη προδοσία

-Μα Βασιλια μου …

-Δεν έχει μα και ξεμα. Θα εκτελεστείς κάποια μέρα του Ιανουαρίου.

-Μπορείτε να μου πείτε τουλάχιστον ποιά;

Ο νηστικός Βασιλιάς.

Ο γνωστός (πλέον) βασιλιάς με τους γρίφους κάλεσε στο δωμάτιο του ένα από τους συμβούλους του για αποφασίσει τι θα φάει την επόμενη μέρα. Λέει λοιπόν στον σύμβουλο του:

– Θα διατυπώσεις μία πρόταση, αν είναι αληθής θα φάω κοτόπουλο Αλα κρέμ, αν είναι ψευδής θα φάω κοτόπουλο Ψητό.

Μετά απο λίγη ώρα ο σύμβουλος έφευγε από το δωμάτιο του βασιλιά γνωρίζοντας ότι την επόμενη μέρα ο βασιλιάς θα μείνει νηστικός. Μπορείτε να φανταστείτε γιατί;

Το βιβλιοπωλείο και οι πωλήσεις βιβλίων.

Την χρονιά που μας πέρασε ένα βιβλιοπωλείο πούλησε συνολικά 600 βιβλία Μαθηματικών. Το βιβλιοπωλείο ήταν ανοικτό και τις 7 μέρες κάθε εβδομάδας και πουλούσε τουλάχιστον ένα βιβλίο Μαθηματικών τη μέρα. Είναι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος από διαδοχικές ημέρες όπου πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία;

Το πρόβλημα με τα σπιρτόκουτα (The Banach’s mathbox problem).

Υποθέτουμε ότι ένας άντρας αγόρασε από ένα περίπτερο δύο σπιρτόκουτα, τα οποία τα τοποθέτησε αμέσως στην τσέπη του. Κάθε φορά που ήθελε να ανάψει ένα σπίρτο διάλεγε τυχαία ένα από τα δύο σπιρτόκουτα. Κάποια στιγμη …