Πεπερασμένες περιοχές στο επίπεδο.

Σε συνέχεια της Άσκησης 11 αν ευθείες διαμερίζουν το επίπεδο μπορείτε να βρείτε το μέγιστο αριθμό των φραγμένων περιοχών που δημιουργούνται;

Ολοκληρώματα και γεωμετρία.

Συνήθως τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα χρειάζονται μη τετριμμένους μετασχηματισμούς για την επίλυση τους. Όμως πολλές φορές οι γεωμετρικές ιδιότητες των υπό ολοκλήρωση συναρτήσεων μπορούν να μας δώσουν το ζητούμενο με πιο αποδοτικό τρόπο. Μπορείτε να λύσετε γεωμετρικά το παρακάτω ολοκλήρωμα;

Είναι δίκαιο το παιχνίδι;

Ένα παιχνίδι από παίκτες, έστω θεωρείται δίκαιο αν κάθε παίκτης έχει την ίδια πιθανότητα να κερδίσει, δηλαδή αν η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης είναι .

Oι παίκτες μας παίζουν το εξής παιχνίδι, ρίχνουν ένα ζάρι και στη σειρά εκείνου που θα έρθει πρώτη φορά γράμματα κερδίζει.

Είναι δίκαιο το παιχνίδι ; Αν όχι ποιά θέση θα διαλέγατε;

Ένα περίεργο παιχίδι με μπάλες.

Ένας παίκτης πρέπει να παίξει το παρακάτω παιχνίδι με σκοπό να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του.

Έχει μπροστά του ίδιες μπάλες και οι επιτρεπτές κινήσεις είναι:

• Η πρώτη κίνηση είναι να χωρίσει τις μπάλες  σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες (μη κενά)
• Κάθε φορά διαλέγει ένα σύνολο από μπάλες και το χωρίζει σε δύο μικρότερα σύνολα από μπάλες.

Σε κάθε κίνηση του κερδίζει κάποια χρήματα με τον εξής αλγόριθμο:

Αν επιλέξει να χωρίσει ένα σύνολο από μπάλες σε δύο άλλα έτσι ώστε το ένα να έχει μπάλες και το δεύτερο , με τότε κερδίζει ευρώ.

Υπάρχει στρατηγική για τον παίκτη ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του;

Ένα πρόβλημα διαμέρισης.

Υπάρχει διαμέριση των φυσικών αριθμών τέτοια ώστε κάθε να είναι μια αριθμητική πρόοδος με λόγο και για κάθε να ισχύει ;

Tο πρόβλημα των οκτώ βασιλισσών.

Έστω ότι έχουμε μια σκακιέρα και θέλουμε να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα οκτώ βασίλισσες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην απειλεί η μια την άλλη. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να το πετύχουμε αυτό;

Σημεία στο επίπεδο.

Έστω σημεία στο επίπεδο τότε να αποδείξετε ότι :

• είτε όλα είναι συγγραμικά
• είτε υπάρχει ευθεία του επιπέδου που περιέχει ακριβώς δύο σημεία. 

Πλήθος αντισυμμετρικών συνόλων.

Ένα λέγεται αντισυμμετρικό αν δεν περιέχει κανένα ζεύγος αριθμών τέτοιο ώστε η απόσταση τους να είναι . Αν συμβολίζουμε το πλήθος των αντισυμμετρικών υποσυνόλων του μπορείτε να βρείτε ένα κλειστό τύπο για την ;

Ένα πρόβλημα διάδοσης κουτσομπολιών.

Σε μια πόλη με άτομα τo σπίτι του προέδρου της πόλης βρίσκεται στο κέντρο ομόκεντρων κύκλων (βλέπε σχήμα)

Υπάρχουν το πλήθος κύκλοι και σε κάθε κύκλο ένα ακριβώς σπίτι πολίτη της πόλης.

Eνα πρωι ο πρόεδρος μαθαίνει ένα κουτσομπολιό και αποφασίζει τυχαία να διαλέξει έναν άλλο πολίτη της πόλης για να του πεί το κουτσομπολιό. Η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του κύκλου έτσι ώστε με . Ποια είναι η πιθανότητα ο πιο απομακρυσμένος πολίτης από το κέντρο να μάθει το νέο ύστερα από διαδόσεις.

Έστω ένα σύνολο με και μια οικογένεια υποσυνόλων του . Αν για κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία υπάρχει τέτοιο ώστε είτε και είτε και μπορείτε να βρείτε ένα κάτω φράγμα για το ;